Am Anfang war der Punkt

Bei einer mathematischen Betrachtung des Ursprungs eines Universums muss auch immer berücksichtigt werden, dass bestimmte Komponenten, wie Raum und Zeit noch nicht gegeben sind. Nichtsdestotrotz müssen die Funktionen und Annahmen, auf denen ein Universum basiert, sowohl mit, wie auch ohne diese Komponenten funktionieren. Sie sollten eine gültige, nachvollziehbare und erklärbare mathematische Beschreibung haben, die nicht gleich daran zerbricht, dass eine neue Dimension hinzugefügt (oder erobert) wird.

Der Punkt

Ich halte es hier eher mit Pythagoras, dass der Punkt im Wesentlichen eine Ortsbeschreibung ist und hadere mit Euklid, dass ein Punkt etwas ist, das keine Teile hat. Ausgehend von der Definition, dass ein Punkt ein Kreis mit Radius null zu den Kegelschnitten ist (die schon Dimensionen voraussetzen), spricht nichts dagegen, dass ein Punkt \({P}\) eine unendliche Anzahl von Punkten enthalten kann, die jeweils den Radius null und eine Dimensionsbeschreibungen haben. Allerdings könnte man für nil Euklid geltend machen, was einen Punkt, der aus mehreren Punkten besteht zwingen würde, diese Punkte in die Dimensionen auszurollen.

Ein Punkt muss immer in Relation zur Dimension gesehen werden, jede zusätzliche Dimension fügt einem Punkt einen weiteren Ortsvektor hinzu.

Für die Dimension \({n}\) wird angenommen \({n \in \mathbb{N}:\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \cdots \}}\).

Punkt, Linie und Euklid

Was genau ist ein Punkt in Dimension \({n=0}\) und \({n=1}\)? Es kann kein Kreis sein, da dies die Dimension \({n=2}\) impliziert. Erst recht nicht ein Kegelschnitt, der die Dimension \({n=3}\) impliziert. Ein Punkt kann auch keine physikalische Objektausprägung haben, selbst in Dimensionen \({n>1}\). Das gilt auch für die Linie, die nur eine Menge an Punkten zwischen zwei definierten Punkten darstellt. Punkt wie Linie sind eine virtuelle Beschreibungseinheit für Grenzen eines geometrischen Objekts. Sie besitzen keine Fläche, begrenzen diese aber gegebenenfalls.

Sie sind letztendlich Vektoren, die eine Position in einem n-dimensionalen Raum beschreiben ohne eine physikalische Repräsentation zu besitzen. Solange sie nicht Teilmenge eines physikalischen Objekts sind. Im physikalischen Raum macht Euklids Definition Sinn, denn zwei Objekte können nicht denselben Raum einnehmen.

Wenn man annimmt, dass Elementarteilchen punktförmig sind, dann wäre ein Punkt der ein Elementarteilchen darstellt, einem physikalischen Objekt zugeordnet, welches unterhalb unserer Wahrnehmungsschwelle liegt. Die Preisfrage ist nun, hat dieser "Punkt" eine Ausdehnung, auch wenn wir sie nicht messen können?

Ein Punkt der Elementarteilchen enthält widerspricht zum einen Euklid. Zum anderen ist dieser "Punkt" eine grobe Vereinfachung der möglicherweise komplexen Struktur von Elementarteilchen, die in dem Punkt enthalten sind, aber nicht wahrgenommen werden können. Die Punktwolke der Elementarteilchen kann mangels Auflösung nicht dargestellt und auch nicht ortsmässig bestimmt werden.

Dies kann für einen Beobachter dieser Black Box den Schluss nahelegen, dass physikalische Gesetze scheinbar gebrochen werden, insbesondere wenn die Prozesse im "Punkt" unterhalb von \({t_P=1}\) agieren. Denn aus Sicht des Beobachters passiert alles gleichzeitig und mehrere physikalischen Objekte (Elementarteilchen), teilen sich scheinbar denselben Raum.

Ein "Punkt", der Elementarteilchen enthält, ist also etwas anderes als ein geometrischer Punkt, der tatsächlich die absolute Ausdehnung 0 hat. Es ist ein höchst ungenauer Ortsvektor zu physikalischen Prozessen, die verborgen bleiben, aber eine, wie auch immer geartete Energie an dem beschriebenen Ortsvektor darstellen.

Für einen geometrischen Punkt spielt es keine Rolle, ob dieser Punkt die Menge aller Punkte mit dem gleichen Ortsvektor ist oder etwas das keine Teile enthält. Eine Linie ist nur die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten, die durch eine unendliche Menge an Punkten dargestellt werden kann, die auf dieser Linie liegen. Geometrisch sind Punkt und Linie Hilfskonstrukte zur Beschreibung geometrischer Objekte.

Ein physikalischer Punkt ist ein Zwitter. Er kann einen geometrischen Punkt darstellen oder den Ortsvektor zu Objekten, die sich als Energie an diesem Ortsvektor manifestieren und unterhalb der Planckskala liegen.

Ein geometrischer Punkt der in einen physikalischen Raum überführt wird, bleibt weiterhin nur ein Ortsvektor, wenn er keine Punktobjekte enthält. Ein geometrischer Punkt, der potentielle Punkte enthält, kann nur dann in den physikalischen Raum überführt werden, wenn alle potentiellen Punkte den gleichen Abstand zueinander haben und dieser Abstand \({d>0}\) ist. Nicht im Sinne der Planckskala, sondern als Vielfaches von \({\frac {l_P} {x}}\). Wobei \({x}\) die Präzision eines imaginären Schöpfers darstellt.

Die potentiellen Punkte können für einen Beobachter weiterhin dieselbe Position einnehmen. Auf der Ebene unterhalb von Planck müssen sie aber verschiedene Positionen einnehmen, da kein Objekt den gleichen Raum beanspruchen kann.

Theorem Punktentität

1. Eine Punktentität \({P^{ent}}\) ist ein Punkt, der aus der Menge aller Punkte \(p^{ent}_{i}\) besteht, die den gleichen Positionsvektor \({\overrightarrow {P}}\) haben.
2. Es gilt \({P^{ent} = \{p^{ent}_{i}|{i \in \mathbb{N}}, i \geq 0\}}\)
3. Es gilt, dass der Abstand \({d^{ent}}\) zwischen allen Punkten \(p^{ent}_{i}\) gleich ist.
   1. \({d^{ent}=d(p^{ent}_{i}, p^{ent}_{i+1})=d(p^{ent}_{i}, p^{ent}_{i+x})}\)
4. Im geometrischen Raum hat dies keine Auswirkung, wenn die numerische Genauigkeit so definiert ist, das \({1}\) die kleinstmögliche Zahl ist und Nachkommastellen ignoriert werden. Ansonsten gelten die Regeln für den physikalischen Raum.
5. Im physikalischen Raum hat dies Auswirkungen, denn es gilt, das eine Raumposition nicht von zwei Objekten gleichzeitig eingenommen werden kann. Ebenso wie Euklid, das ein Punkt etwas ist, dass keine Teile hat.
   1. Im physikalischen Raum hat eine Punktentität \({P^{ent}}\) eine Ausdehnung \({>0}\), die unterhalb der Planckskala liegt: \({l_P \leq 1}\).
   2. Das Gesetz des gleichen Abstands muss eingehalten werden, d.h. eine Punktentität muss alle enthaltenen Punkte \(p^{ent}_{i}\) zu unterschiedliche Positionen/Vektoren bewegen, die weiterhin den gleichen Abstand \({d^{ent}}\) zueinander haben.
   3. Beim Bewegen der Punkte \(p^{ent}_{i}\) wird Arbeit verrichtet. Somit ist einer Punktentität auch immer Energie zuzuordnen (\({e \neq 0}\)). Das Universum wird mit \({e=\pm 1}\) initialisiert. Die Verteilung muss noch anhand der sich ergebenden Strukturen ermittelt werden.
   4. Eine Punktentität \({P^{ent}}\) hat in der Wahrnehmung eines inneren Beobachters scheinbar nur eine einzige Position \({\overrightarrow {P}}\).
6. Ein Positionsvektor \({\overrightarrow {P}}\) im physikalischen Raum kann mehr als eine Punktentität \({P^{ent}}\) enthalten, solange die innere Ausdehnung der jeweiligen Punktentitäten zusammengenommen \({l_P=1}\) nicht überschreitet.
7. Die Anzahl der möglichen Kanten \({k_n}\) in einer Dimension \({n}\) bei einer Anzahl von \({n+1}\) Punkten in dieser Dimension entspricht \({k_n=n^2:n=0|k_n=n^2-k_{n-1}:n>0}\).
   1. Kanten sind definiert als die Gerade zwischen zwei äusseren Eckpunkten eines geometrischen Objekts, eine mathematischen Raums. Punkte, die auf dieser Geraden liegen, sind Teil der Kante, bilden aber keine eigene Kante.

Anmerkungen:

1. Die Einführung einer Punktentität ist eine Notwendigkeit beim Entwurf eines Universums um funktionslose Ortsbestimmungen von funktionalen Orten in Punktgrösse unterscheiden zu können. Natürlich ist sie auch so ein Gottes-Trick. Ich werfe einen geometrischen Punkt der mehrere Punkte enthält in einen physikalischen Raum und ermögliche dadurch die Entstehung von Dimensionen. Denn wenn die Abstandsregel eingehalten werden soll, ebenso wie die Regel, dass ein Ort nur von einem Objekt besetzt werden kann, muss sich die Punktentität im Raum und in den Dimensionen ausbreiten, quasi die Dimensionen schaffen um die Regeln einzuhalten.

Punkt und Physik

Ein Punkt \({P}\) hat physikalisch gesehen keine andere Funktion als eine Positionsbeschreibung im Raum-Zeit-Gewebe. Er hat eine Ausdehnung von 0 und eine Energie von 0. Er ist sozusagen ein funktionsloser Ortsvektor für die Dimensionen, in denen er existiert.

Dagegen muss eine Punktentität \({P^{ent}}\) physikalisch eine Ausdehnung besitzen. Für einen Beobachter innerhalb eines Raums mit Punktentitäten ist der innere Aufbau der Entität verborgen, da unterhalb der jeweilig geltenden Planckskala. Das einzige Unterscheidungsmerkmal zwischen einem Punkt \({P}\) und einer Punktentität \({P^{ent}}\) für einen Beobachter innerhalb des Raums ist der Energiezustand dieses Punktes. Für eine Punktentität gilt immer \({e \neq 0}\) an Position \({P}\).

Um die Bedingung \({r=0}\) zu erfüllen, reicht es, wenn in unserem Universum \({r < l_P}\) erreicht ist. Oder, allgemeiner formuliert, \({r < l_{nil}}\). Wenn man die kleinstmögliche wahrnehmbare und nachweisbare Einheit \({l_{nil}}\) als \(1\) definiert, wäre \({r=0.9999\cdots}\) gleichbedeutend mit \({r=0}\).

Über \({r}\) liesse sich auch die Anzahl der Nachkommastellen, die Präzision des Universums, steuern. Man erreicht zwar nicht die Grösse eines Einheitskreises für \({\pi}\) mit \({r=1}\), ausser in der Projektion, aber die Lichtgeschwindigkeit ist ja auch nur bedingt kompatibel zu \({\pi}\).

Aus Sicht eines Erschaffers von Universen machen unsere Masseinheiten wenig Sinn auch wenn sie aus unsere Sicht extrem hilfreich sind.

Es erscheint mir daher einfacher und sinnvoller, ein Universum auf Basis der Planckkonstante \({h=2\pi}\) aufzubauen. Womit sich auch die reduzierte Planckkonstante \({\hbar \equiv \frac {h} {2\pi} = 1}\) ergibt. Wie auch einen impliziten Bezug zur Kreisfrequenz \({\omega}\) und zum Drehimpuls \({J}\).

Bei der Gravitationskonstante \({\mathrm {G}}\) ist eine Entscheidung zu treffen. Verwendet man \({\mathrm {G}=1}\) oder \({\mathrm {G}=\frac {1} {8\pi}}\).

Somit wäre \({l_{nil} = 1 \equiv l_P = {\sqrt {\frac {{\hbar} \mathrm {G}} {c^3}}}}\) für unser Universum. Und es wird dem Universum überlassen, welche Konstanten oder Formeln man verwendet. Im Bezug auf die Zeit wäre \({t_{nil} = 1 \equiv t_P = {\sqrt {\frac {{\hbar} \mathrm {G}} {c^5}}} = {\frac {l_P} {c}}}\) gültig. Masse, Temperatur und Ladung scheinen mir nicht universell genug und sind Funktionen eines bestimmten Typs von Universum, ebenso wie die Planck-Konstante \(h\), auch wenn man sich darüber streiten könnte.

Ein geeignetes Modell