Punktuelle Mathematik

Bei einer mathematischen Betrachtung des Ursprungs eines Universums muss auch immer berücksichtigt werden, dass bestimmte Komponenten, wie Raum und Zeit noch nicht gegeben sind. Nichtsdestotrotz müssen die Funktionen und Annahmen, auf denen ein Universum basiert, sowohl mit, wie auch ohne diese Komponenten funktionieren. Sie sollten eine gültige, nachvollziehbare und erklärbare mathematische Beschreibung haben, die nicht gleich daran zerbricht, dass eine neue Dimension hinzugefügt (oder erobert) wird.

Der Punkt

Ich halte es hier eher mit Pythagoras, dass der Punkt im Wesentlichen eine Ortsbeschreibung ist und hadere mit Euklid, dass ein Punkt etwas ist, das keine Teile hat. Ausgehend von der Definition, dass ein Punkt ein Kreis mit Radius null zu den Kegelschnitten ist (die schon Dimensionen voraussetzen), spricht nichts dagegen, dass ein Punkt \({P}\) eine unendliche Anzahl von Punkten enthalten kann, die jeweils den Radius null und eine Dimensionsbeschreibungen haben. Allerdings könnte man für nil Euklid geltend machen, was einen Punkt, der aus mehreren Punkten besteht zwingen würde, diese Punkte in die Dimensionen auszurollen.

Ein Punkt muss immer in Relation zur Dimension gesehen werden, jede zusätzliche Dimension fügt einem Punkt einen weiteren Ortsvektor hinzu.

Für die Dimension \({n}\) wird angenommen \({n \in \mathbb{N}:\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \cdots \}}\).

Punkt, Linie und Euklid

Was genau ist ein Punkt in Dimension \({n=0}\) und \({n=1}\)? Es kann kein Kreis sein, da dies die Dimension \({n=2}\) impliziert. Erst recht nicht ein Kegelschnitt, der die Dimension \({n=3}\) impliziert. Ein Punkt kann auch keine physikalische Objektausprägung haben, selbst in Dimensionen \({n>1}\). Das gilt auch für die Linie, die nur eine Menge an Punkten zwischen zwei definierten Punkten darstellt. Punkt wie Linie sind eine virtuelle Beschreibungseinheit für Grenzen eines geometrischen Objekts. Sie besitzen keine Fläche, begrenzen diese aber gegebenenfalls.

Sie sind letztendlich Vektoren, die eine Position in einem n-dimensionalen Raum beschreiben ohne eine physikalische Repräsentation zu besitzen. Solange sie nicht Teilmenge eines physikalischen Objekts sind. Im physikalischen Raum macht Euklids Definition Sinn, denn zwei Objekte können nicht denselben Raum einnehmen.

Wenn man annimmt, dass Elementarteilchen punktförmig sind, dann wäre ein Punkt der ein Elementarteilchen darstellt, einem physikalischen Objekt zugeordnet, welches unterhalb unserer Wahrnehmungsschwelle liegt. Die Preisfrage ist nun, hat dieser "Punkt" eine Ausdehnung, auch wenn wir sie nicht messen können?

Ein Punkt der Elementarteilchen enthält widerspricht zum einen Euklid. Zum anderen ist dieser "Punkt" eine grobe Vereinfachung der möglicherweise komplexen Struktur von Elementarteilchen, die in dem Punkt enthalten sind, aber nicht wahrgenommen werden können. Die Punktwolke der Elementarteilchen kann mangels Auflösung nicht dargestellt und auch nicht ortsmässig bestimmt werden.

Dies kann für einen Beobachter dieser Black Box den Schluss nahelegen, dass physikalische Gesetze scheinbar gebrochen werden, insbesondere wenn die Prozesse im "Punkt" unterhalb von \({t_P=1}\) agieren. Denn aus Sicht des Beobachters passiert alles gleichzeitig und mehrere physikalischen Objekte (Elementarteilchen), teilen sich scheinbar denselben Raum.

Ein "Punkt", der Elementarteilchen enthält, ist also etwas anderes als ein geometrischer Punkt, der tatsächlich die absolute Ausdehnung 0 hat. Es ist ein höchst ungenauer Ortsvektor zu physikalischen Prozessen, die verborgen bleiben, aber eine, wie auch immer geartete Energie an dem beschriebenen Ortsvektor darstellen.

Für einen geometrischen Punkt spielt es keine Rolle, ob dieser Punkt die Menge aller Punkte mit dem gleichen Ortsvektor ist oder etwas das keine Teile enthält. Eine Linie ist nur die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten, die durch eine unendliche Menge an Punkten dargestellt werden kann, die auf dieser Linie liegen. Geometrisch sind Punkt und Linie Hilfskonstrukte zur Beschreibung geometrischer Objekte.

Ein physikalischer Punkt ist ein Zwitter. Er kann einen geometrischen Punkt darstellen oder den Ortsvektor zu Objekten, die sich als Energie an diesem Ortsvektor manifestieren und unterhalb der Planckskala liegen.

Ein geometrischer Punkt der in einen physikalischen Raum überführt wird, bleibt weiterhin nur ein Ortsvektor, wenn er keine Punktobjekte enthält. Ein geometrischer Punkt, der potentielle Punkte enthält, kann nur dann in den physikalischen Raum überführt werden, wenn alle potentiellen Punkte den gleichen Abstand zueinander haben und dieser Abstand \({d>0}\) ist. Nicht im Sinne der Planckskala, sondern als Vielfaches von \({\frac {l_P} {x}}\). Wobei \({x}\) die Präzision eines imaginären Schöpfers darstellt.

Die potentiellen Punkte können für einen Beobachter weiterhin dieselbe Position einnehmen. Auf der Ebene unterhalb von Planck müssen sie aber verschiedene Positionen einnehmen, da kein Objekt den gleichen Raum beanspruchen kann.

Theorem Punkt

Ein Punkt \({P}\) hat eine absolute Ausdehnung 0 in allen Dimensionen \({n}\) in denen der Punkt existiert.
Ein Punkt \({P}\) ist ein Ortsvektor, eine Positionsbeschreibung, für die jeweilige Dimension \({n}\) in der dieser Punkt existiert.
Der Abstand \({d}\) zwischen zwei beliebigen Positionen/Punkten \({p}\) und \({q}\) ist definiert als die kürzeste Entfernungen, die Differenz, zwischen diesen beiden Positionen/Punkten. Es gilt \({d=d(p,q)=|p-q|=\sqrt {{(p-q)}^2}:d \geq 0}\) für jeweils eine Dimensionsachse.
Ein Punkt \({P}\) wird beschrieben durch die Positionen \({p_n}\) auf der Achse der jeweiligen Dimension \({n>0}\) und beschreibt den Abstand \({d}\) zum Nullpunkt \({p_0}\) in Dimension \({n=0}\).
1. \({p_0}\) ist immer \({0}\).
2. Die Position \({p_n}\) ist identisch mit dem Abstand \({d}\) von \({p_n}\) zu \({p_0}\).
3. Daraus ergibt sich \({p_n \equiv d:d=(p_n,p_0)=p_n-p_0=p_n-0=p_n:p_n \in \mathbb{R}}\).
4. In Vektorschreibweise
  \({\overrightarrow {P}=\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \\ \cdots \end{pmatrix}}\)
Für den Abstand von Vektoren mit mehreren Dimensionen \({\overrightarrow {P}}\) gilt äquivalent \({d=d(\vec{p}, \vec{q})=|\vec{p} - \vec{q}|}\) was im dreidimensionalen Raum \({\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2}}\) entspricht.

Anmerkungen:

Ein Kreis und somit ein Radius \({r}\) ergibt sich erst ab Dimension \({n = 2}\). Damit ist die Aussage \({r=0}\) ungenau, kann aber zur Beschreibung der Ausdehnung verwendet werden, wenn \({n \geq 2}\) gegeben ist.
Die übliche Schreibweise für eine dreidimensionale Punktbeschreibungen ist
\({\overrightarrow {P}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix}}\)
Eine allgemeinere Beschreibung für den Abstand von Vektoren mit einer unbekannten Zahl an Dimensionen wäre
\({\sqrt{({p_1}_1 - {p_1}_2)^2 + ({p_2}_1 - {p_2}_2)^2 + ({p_3}_1 - {p_3}_2)^2 + \cdots}}\)

Theorem Punktentität

Eine Punktentität \({P_{ent}}\) ist ein Punkt, der aus der Menge aller Punkte \(P_{ent}^{i}\) besteht, die den gleichen Positionsvektor \({\overrightarrow {P}}\) haben.
Es gilt \({P_{ent} = \{P_{ent}^{i}|{i \in \mathbb{N}}, i \geq 0\}}\)
Es gilt, dass der Abstand \({d_{ent}}\) zwischen allen Punkten \(P_{ent}^{i}\) gleich ist.
1. \({d_{ent}=d(P_{ent}^{i}, P_{ent}^{i+1})=d(P_{ent}^{i}, P_{ent}^{i+x})}\)
Im geometrischen Raum hat dies keine Auswirkung, wenn die numerische Genauigkeit so definiert ist, das \({1}\) die kleinstmögliche Zahl ist und Nachkommastellen ignoriert werden. Ansonsten gelten die Regeln für den physikalischen Raum.
Im physikalischen Raum hat dies Auswirkungen, denn es gilt, das eine Raumposition nicht von zwei Objekten gleichzeitig eingenommen werden kann. Ebenso wie Euklid, das ein Punkt etwas ist, dass keine Teile hat.
1. Im physikalischen Raum hat eine Punktentität \({P_{ent}}\) eine Ausdehnung \({>0}\), die unterhalb der Planckskala liegt: \({l_P \leq 1}\).
2. Das Gesetz des gleichen Abstands muss eingehalten werden, d.h. eine Punktentität muss alle enthaltenen Punkte \(P_{ent}^{i}\) zu unterschiedliche Positionen/Vektoren bewegen, die weiterhin den gleichen Abstand \({d_{ent}}\) zueinander haben.
3. Beim Bewegen der Punkte \(P_{ent}^{i}\) wird Arbeit verrichtet. Somit ist einer Punktentität auch immer Energie zuzuordnen (\({e \neq 0}\)). Das Universum wird mit \({e=\pm 1}\) initialisiert. Die Verteilung muss noch anhand der sich ergebenden Strukturen ermittelt werden.
4. Eine Punktentität \({P_{ent}}\) hat in der Wahrnehmung eines inneren Beobachters scheinbar nur eine einzige Position \({\overrightarrow {P}}\).
Die Anzahl der möglichen Kanten \({k_n}\) in einer Dimension \({n}\) bei einer Anzahl von \({n+1}\) Punkten in dieser Dimension entspricht \({k_n=n^2:n=0|k_n=n^2-k_{n-1}:n>0}\).
1. Kanten sind definiert als die Gerade zwischen zwei äusseren Eckpunkten eines geometrischen Objekts. Punkte, die auf dieser Geraden liegen, sind Teil der Kante, bilden aber keine eigene Kante.

Anmerkungen:

Die Einführung einer Punktentität ist eine Notwendigkeit beim Entwurf eines Universums um funktionslose Ortsbestimmungen von funktionalen Orten in Punktgrösse unterscheiden zu können. Natürlich ist sie auch so ein Gottes-Trick. Ich werfe einen geometrischen Punkt der mehrere Punkte enthält in einen physikalischen Raum und ermögliche dadurch die Entstehung von Dimensionen. Denn wenn die Abstandsregel eingehalten werden soll, ebenso wie die Regel, dass ein Ort nur von einem Objekt besetzt werden kann, muss sich die Punktentität im Raum und in den Dimensionen ausbreiten, quasi die Dimensionen schaffen um die Regeln einzuhalten.

Punkt und Physik

Ein Punkt \({P}\) hat physikalisch gesehen keine andere Funktion als eine Positionsbeschreibung im Raum-Zeit-Gewebe. Er hat eine Ausdehnung von 0 und eine Energie von 0. Er ist sozusagen ein funktionsloser Ortsvektor für die Dimensionen, in denen er existiert.

Dagegen muss eine Punktentität \({P_{ent}}\) physikalisch eine Ausdehnung besitzen. Für einen Beobachter innerhalb eines Raums mit Punktentitäten ist der innere Aufbau der Entität verborgen, da unterhalb der jeweilig geltenden Planckskala. Das einzige Unterscheidungsmerkmal zwischen einem Punkt \({P}\) und einer Punktentität \({P_{ent}}\) für einen Beobachter innerhalb des Raums ist der Energiezustand dieses Punktes. Für eine Punktentität gilt immer \({e \neq 0}\) an Position \({P}\).

Um die Bedingung \({r=0}\) zu erfüllen, reicht es, wenn in unserem Universum \({r < l_P}\) erreicht ist. Oder, allgemeiner formuliert, \({r < l_{nil}}\). Wenn man die kleinstmögliche wahrnehmbare und nachweisbare Einheit \({l_{nil}}\) als \(1\) definiert, wäre \({r=0.9999\cdots}\) gleichbedeutend mit \({r=0}\).

Über \({r}\) liesse sich auch die Anzahl der Nachkommastellen, die Präzision des Universums, steuern. Man erreicht zwar nicht die Grösse eines Einheitskreises für \({\pi}\) mit \({r=1}\), ausser in der Projektion, aber die Lichtgeschwindigkeit ist ja auch nur bedingt kompatibel zu \({\pi}\).

Aus Sicht eines Erschaffers von Universen machen unsere Masseinheiten wenig Sinn auch wenn sie aus unsere Sicht extrem hilfreich sind.

Es erscheint mir daher einfacher und sinnvoller, ein Universum auf Basis der Planckkonstante \({h=2\pi}\) aufzubauen. Womit sich auch die reduzierte Planckkonstante \({\hbar \equiv \frac {h} {2\pi} = 1}\) ergibt. Wie auch einen impliziten Bezug zur Kreisfrequenz \({\omega}\) und zum Drehimpuls \({J}\).

Bei der Gravitationskonstante \({\mathrm {G}}\) ist eine Entscheidung zu treffen. Verwendet man \({\mathrm {G}=1}\) oder \({\mathrm {G}=\frac {1} {8\pi}}\).

Somit wäre \({l_{nil} = 1 \equiv l_P = {\sqrt {\frac {{\hbar} \mathrm {G}} {c^3}}}}\) für unser Universum. Und es wird dem Universum überlassen, welche Konstanten oder Formeln man verwendet. Im Bezug auf die Zeit wäre \({t_{nil} = 1 \equiv t_P = {\sqrt {\frac {{\hbar} \mathrm {G}} {c^5}}} = {\frac {l_P} {c}}}\) gültig. Masse, Temperatur und Ladung scheinen mir nicht universell genug und sind Funktionen eines bestimmten Typs von Universum, ebenso wie die Planck-Konstante \(h\), auch wenn man sich darüber streiten könnte.

Den 5ten Punkt ableiten

Wie liesse sich der 5te Punkt ableiten, wenn wir die Systematik beibehalten? Erst ab der Linie ergibt sich eine erkennbare Systematik, die auf Dreiecksformen aufbaut.

Für den ersten Punkt haben wir den Vektor \({\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}}\).

Für eine Linie mit Seitenlänge \({a}\) ergibt sich \({x=a}\).

Für die ersten zwei Punkte haben wir die Vektoren \({\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}}\).

Um auf einer Linie ein gleichseitiges Dreieck aufzubauen, benötigen wir die Höhe \({h}\), die Seite \({a}\) ist bereits gegeben. Es gilt \({h={\frac {\sqrt {3}} {2}} \times a \implies x={\frac {a} {2}},y={\frac {\sqrt {3}} {2}} a}\).

Wir ermitteln also den Mittelpunkt von \({a}\) und errichten darauf eine senkrechte Gerade in Richtung der neuen Dimension mit der Höhe eines gleichseitigen Dreiecks, die in der Formel die drei Seiten bereits enthält \({\sqrt {3}}\). Wir transformieren \({x}\) und ermitteln \({y}\).

Es ergeben sich die Vektoren \({\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\frac {a} {2}} \\ {{\frac {\sqrt {3}} {2}} a} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}}\).

Für den nächsten Punkt zum Tetraeder, müssen wir den Mittelpunkt (Inkreis) \({r_i}\) des neuen Objekts, des gleichseitigen Dreiecks, ermitteln, auf dem wir die Höhe in Richtung der nächsten Dimension aufrichten können. D.h \({x}\) behält seinen Wert, aber \({y}\) muss transformiert und \({z}\) ermittelt werden. Also \({h_p}\) des Tetraeders.

Es gilt \({r_i={\frac {a} {2{\sqrt {3}}}}:h_p={\frac {a} {3}}{\sqrt {6}} \implies x={\frac {a} {2}},y={\frac {a} {2{\sqrt {3}}}},z={\frac {a} {3}}{\sqrt {6}}}\).

Es ergeben sich die Vektoren \({\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\frac {a} {2}} \\ {{\frac {\sqrt {3}} {2}} a} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\frac {a} {2}} \\ {\frac {a} {2{\sqrt {3}}}} \\ {\frac {a} {3}}{\sqrt {6}} \\ 0 \end{pmatrix}}\).

Wenn wir der Systematik für den 5ten Punkt folgen, müsste \({x,y}\) stabil bleiben, \({z}\) müsste zum Inkugelradius \({r_i^{tetraeder}}\) transformiert werden und \({p_4}\), die nächste Dimensionsachse, müsste \({a}\) und die Anzahl der Seiten des neuen Objekts enthalten. Was bei Verdoppelung der Seiten pro Dimension \({12}\) ergeben müsste.

Es gilt \({r_i^{tetraeder}={\frac {a} {12}}{\sqrt {6}}:h_{p_4}=? \implies x={\frac {a} {2}},y={\frac {a} {2{\sqrt {3}}}},z={\frac {a} {12}}{\sqrt {6}}, p_4=?}\).

Es ergeben sich die Vektoren \({\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\frac {a} {2}} \\ {{\frac {\sqrt {3}} {2}} a} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\frac {a} {2}} \\ {\frac {a} {2{\sqrt {3}}}} \\ {\frac {a} {3}}{\sqrt {6}} \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\frac {a} {2}} \\ {\frac {a} {2{\sqrt {3}}}} \\ {\frac {a} {12}}{\sqrt {6}} \\ ? \end{pmatrix}}\).

Heruntergebrochen heisst das, wenn ich es für beliebige Dimensionen durchspielen will, dass ich zwei Funktionen für den Mittelpunkt und die Höhe benötige. Die die Dimension \({n}\), wie auch die Seitenlänge \({a}\) als Parameter haben. Also \({f^{center}(n,a)}\) und \({f^{height}(n,a)}\).

Aber das sind schon eine Funktion und ein Parameter zuviel. Ausserdem würde man noch den Vorgängerpunkt oder die Dimension, in die ein Punkt ausgerollt werden muss, als Parameter benötigen. Alles nicht universell genug. Entweder wird eine Funktion benötigt, die auf alle Vektorpositionen gleich angewandt wird, also
\({{\overrightarrow {P}}=\begin{pmatrix} f(x) \\ f(y) \\ f(z) \\ \vdots \\ f(p_x) \end{pmatrix}}\)

Oder man braucht eine Funktion, die gleich einen kompletten Vektor als Ergebnis hat, also
\({{\overrightarrow {P_x}}=f(x)}\).

Am besten wäre es, wenn das Ergebnis eine Vektormatrix ist, die alle Punkte enthält. Also
\({P_{ent}=f(a)=\begin{pmatrix} 0 & a & {\frac {a} {2}} & {\frac {a} {2}} & {\frac {a} {2}} \\ 0 & 0 & {{\frac {\sqrt {3}} {2}} a} & {\frac {a} {2{\sqrt {3}}}} & {\frac {a} {2{\sqrt {3}}}} \\ 0 & 0 & 0 & {\frac {a} {3}}{\sqrt {6}} & {\frac {a} {12}}{\sqrt {6}} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ? \end{pmatrix}:a \leq l_P}\)

Zudem ist dies noch nicht universell genug, denn ich gehe von dem Basisvektor an Position \({0}\) aus. Sobald sich das Universum ausdehnt, ist der Basisvektor aber an unterschiedlichen Positionen.

Die entsprechende Erweiterung wäre
\({P_{ent}=f({\overrightarrow {P}}, a)=\begin{pmatrix} p_1 & p_1+a & p_1+{\frac {a} {2}} & p_1+{\frac {a} {2}} & p_1+{\frac {a} {2}} \\ p_2 & p_2+0 & p_2+{{\frac {\sqrt {3}} {2}} a} & p_2+{\frac {a} {2{\sqrt {3}}}} & p_2+{\frac {a} {2{\sqrt {3}}}} \\ p_3 & p_3+0 & p_3+0 & p_3+{\frac {a} {3}}{\sqrt {6}} & p_3+{\frac {a} {12}}{\sqrt {6}} \\ p_4 & p_4+0 & p_4+0 & p_4+0 & p_4+? \end{pmatrix}:a \leq l_P}\)

Die erste Spalte enthält somit den Positionsvektor \({\overrightarrow {P}=\begin{pmatrix} p_1(x) \\ p_2(y) \\ p_3(z) \\ p_4 \end{pmatrix}}\) an dem die Punktentität \(P_{ent}\) materialisiert. Aus den Spalten kann man die Darstellungsdimension eines ausgerollten Punktes entnehmen (\({n_0 \cdots n_x}\)), aus den Zeilen die dimensionsabhängige Koordinate (\({n_1 \cdots n_x}\) ausser man nimmt noch \({p_0}\) als Koordinate hinzu).

Wie muss also so eine Formel aussehen? Die Systematik wird etwas klarer, wenn man die Formeln umstellt. So kann \({{\frac {\sqrt {3}} {2}} a}\) umgestellt werden zu \({{\frac {a} {2}}{\sqrt {3}}}\). Beim Term \({\frac {a} {2{\sqrt {3}}}}\) müssen wir die Reziprokenregel zur Hilfe nehmen, die besagt, dass \({{\frac {1} {\sqrt {3}}}={\frac {\sqrt {3}} {{(\sqrt {3})}^2}}={\frac {\sqrt {3}} {3}}}\) ist und erhalten \({{\frac {a} {6}}{\sqrt {3}}}\).

Im vereinfachten Beispiel erhalten wir dann
\({P_{ent}=f(a)=\begin{pmatrix} 0 & a & {\frac {a} {2}} & {\frac {a} {2}} & {\frac {a} {2}} \\ 0 & 0 & {{\frac {a} {2}}{\sqrt {3}}} & {{\frac {a} {6}}{\sqrt {3}}} & {{\frac {a} {6}}{\sqrt {3}}} \\ 0 & 0 & 0 & {\frac {a} {3}}{\sqrt {6}} & {\frac {a} {12}}{\sqrt {6}} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ? \end{pmatrix}}\)

Die Systematik wird schon wesentlich besser offensichtlich, wenn die Terme ähnlich aufgebaut sind. Die Anzahl der Seiten/Kanten scheint hier eine wesentliche Rolle zu spielen. Denn \({\frac {a} {2}}\) ist das gleiche wie \({{\frac {a} {2}}{\sqrt {1}}}\). Rein intuitiv würde ich ja sagen, dass wir für die 4te Dimension bei \({{\frac {a} {4}}{\sqrt {12}}}\) herauskommen müssten.

Machen wir es also noch offensichtlicher
\({P_{ent}=f(a)=\begin{pmatrix} 0 & {{\frac {a}{1}}{\sqrt {1}}} & {{\frac {a} {2}}{\sqrt {1}}} & {{\frac {a} {2}}{\sqrt {1}}} & {{\frac {a} {2}}{\sqrt {1}}} \\ 0 & 0 & {{\frac {a} {2}}{\sqrt {3}}} & {{\frac {a} {6}}{\sqrt {3}}} & {{\frac {a} {6}}{\sqrt {3}}} \\ 0 & 0 & 0 & {\frac {a} {3}}{\sqrt {6}} & {\frac {a} {12}}{\sqrt {6}} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ?({{\frac {a} {4}}{\sqrt {12}}}) \end{pmatrix}}\)

Der Sprung der Kanten von \({1}\) zu \({3}\) ist ein Symmetriebruch, da sich danach die Anzahl der Kanten mit jeder Dimension nur noch verdoppelt. Aber \({1}\) verdoppelt ergibt nicht \({3}\). Man kann zwar argumentieren, dass ich durch das Teilen von \({a}\) ein extrem flaches Dreieck erhalte mit den Kantenlängen \({{\frac {a} {2}}, {\frac {a} {2}}, a}: \alpha = \beta = \gamma = 0^{\circ}\), aber das hilft nur begrenzt beim Aufbau einer Gleichung die für alle Dimensionen funktioniert.

Wenn als Grundregel der Funktion definiert wird, dass \({\alpha = \beta = \gamma}\), dass in einem Dreieck alle Winkel in Summe \({180^{\circ}}\) ergeben müssen, wenn die Dimension Winkel \({>0^{\circ}}\) unterstützt und sonst gilt \({\alpha = \beta = \gamma = 0^{\circ}}\), könnte noch ein Schuh daraus werden. Aber es behagt mir nicht besonders. Es ist eine Ausnahmeregel und Ausnahmeregeln sind Fehlerquellen.

Welche Systematik lässt sich bis jetzt beobachten?

Die Länge von \({a}\) wird in das Verhältnis zur Dimension der jeweiligen Vektorposition gesetzt.
Dieses Verhältnis wird mit der Wurzel über die Anzahl der Kanten der Vektorpositionsdimension multipliziert um die Position des Punktes zu bestimmen.
Für alle Dimensionen höher als die Ursprungsdimension des Punktes wird \({a}\) in das Verhältnis zur doppelten Anzahl der Kanten gesetzt und mit der Wurzel über die Anzahl der Kanten der Vektorpositionsdimension multipliziert.
Auf dem Mittelpunkt des jeweiligen Dimensionsobjekts wird die Achse der neuen Dimension aufgerichtet.

Beim Nachrechnen mit \({a=1}\) der Distanz zum 0-Punkt funktionieren alle Werte bis zur 3ten Dimension einwandfrei und ergeben 1. Bei der vermuteten Formel für die 4ten Dimension \({{\frac {a} {4}}{\sqrt {12}}}\) ergibt sich eine Abweichung. Nahe dran an \({1}\) aber nicht exakt, wie bei den anderen Werten. \({1.060660172}\) ist eben nicht \({1}\). Interessanterweise erreicht man mit \({{\frac {a} {4}}{\sqrt {10}}}\) ein exaktes Ergebnis von \({1}\).

Vektorpositionen zu Dimensionen

Also muss erstmal definiert werden, welche Vektorposition welcher Dimension entspricht. \({x \rightarrow n=1}\) ist nicht sehr intuitiv. Daher bevorzuge ich stattdessen \({p_i}\), denn aus dem Index ergibt sich direkt die Dimension \({p_i \implies n=i}\), also \({p_1 \implies n=1}\).

Der verdammte Mittelpunkt

Der Mittelpunkt eines geometrischen Objekts mit variablen Dimensionen muss ebenfalls definiert werden. Es ist der Punkt, der von den Punkten, die das Objekt definieren, gleichweit entfernt ist. Bei einer Sphäre oder einer Gerade ist das einfach, bei einem Dreieck zählen jedoch nur die definierenden Eckpunkte, damit die Bedingung erfüllt werden kann. Wieder so ein Ausnahmeding, scheint mir.

Genaugenommen müssen beim Dreieck die Strecken zu einem beliebigen Kantenpunkt einen Winkel von \({120^{\circ}}\) zur jeweiligen nächsten Strecke, die vom Mittelpunkt ausgeht, haben, um die Bedingung des Mittelpunkts zu erfüllen.

Ich merke schon, der Mittelpunkt eines geometrischen Objekts ist nicht trivial, geschweige denn einfach. Wenn ich einen Umkreis (bzw. die Entsprechung in höheren Dimension) verwende, erreiche ich Punkte, die das Objekt selbst nicht abdeckt und die Objektkanten, sofern vorhanden, ignoriert. Beim Inkreis habe ich dasselbe Dilemma, umgekehrt, ich erreiche Punkte nicht, die zum Objekt gehören.

Also baue ich erstmal auf dem Kreis und seinen Abkömmlingen in höheren Dimensionen auf. Will heissen, alle Kantenpunkte sind gleichweit vom Mittelpunkt entfernt. Ob das ein Kreis, eine Sphäre oder welches Umobjekt auch immer ist.

Der Mittelpunkt ist also dadurch definiert, dass ein kreisbasierendes Umobjekt alle Definitionspunkte eines beliebigen Objekts als Kantenpunkte enthält und der Mittelpunkt des Umobjekts den Mittelpunkt des Objekts darstellt.

Ein kreisbasierendes Inobjekt stellt nur eine Abart des Umobjekts dar, in dem der Radius so klein ist, das Grenzen des Objekts peripher tangiert aber nie überschritten werden.

Zumindest in einem Universum in dem \({\pi}\) regiert.

Die Anzahl der Kanten

Die entscheidende Frage scheint mir: Wann bestimme ich die Kanten?

Solange ich auf der \({x}\)-Position bin, also \({n=1}\), habe ich nur eine Kante, selbst wenn ich einen Mittelpunkt bilde. Was \({\sqrt {1}}\) rechtfertigt.

Wenn ich jedoch in der \({y}\)-Position bin, also \({n=2}\), habe ich ein Objekt, eine Linie, die aus drei Punkten, Eckpunkte und Mittelpunkt besteht. Also ein theoretisches Dreieck mit \({\alpha = \beta = \gamma = 0^{\circ}}\) und somit \({3}\) theoretische Kanten. Was vielleicht \({\sqrt {3}}\) rechtfertigt.

Danach gibt es keine eindimensionale Situation mehr, in der der Mittelpunkt auch auf der einzigen Kante liegt und \({\alpha = \beta = \gamma}\) ist in jedem Fall erfüllt.

Die Funktionen

Ich brauche also ein paar Funktionen.

Wir haben als Ziel eine Vektormatrix, d.h. wir haben Zeilen und Spalten. Mir behagt zwar immer noch nicht, dass \({n=0}\) nicht Teil des Koordinatensystems ist, aber man kann sich die ganze Umwandlung von \({x}\) zu \({n=1}\) auch sparen, wenn man den üblichen Zeilen- und Spaltenindex für Arrays verwendet. Zeile und Spalte beginnen bei \({0}\). Jede Funktion hat also \({row_i}\) und \({col_j}\) als Parameter zur Verfügung.

Die Dimension der Vektorposition ist noch einfach: \({f_{dim}(row_i)=i+1=n}\). Wobei \({i \geq 0;i \in \mathbb{N}}\) gilt.

Die Anzahl der Kanten erfordert beide Parameter: \({f_{edges}(row_i, col_j)=k_n}\). Wobei \({k_n \geq 1;i \geq 0;j \geq 0;k_n, i, j \in \mathbb{N}}\) gilt.

Mal schauen, ob das schon ausreicht:
\({P_{ent}=f(a)=\begin{pmatrix} 0 & {{\frac {a}{f_{dim}}}{\sqrt {f_{edges}}}} & {{\frac {a} {2{f_{edges}}}}{\sqrt {f_{edges}}}} & {{\frac {a} {2{f_{edges}}}}{\sqrt {f_{edges}}}} & {{\frac {a} {2{f_{edges}}}}{\sqrt {f_{edges}}}} \\ 0 & 0 & {{\frac {a} {f_{dim}}}{\sqrt {f_{edges}}}} & {{\frac {a} {2{f_{edges}}}}{\sqrt {f_{edges}}}} & {{\frac {a} {2{f_{edges}}}}{\sqrt {f_{edges}}}} \\ 0 & 0 & 0 & {\frac {a} {f_{dim}}}{\sqrt {f_{edges}}} & {\frac {a} {2{f_{edges}}}}{\sqrt {f_{edges}}} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ({{\frac {a} {f_{dim}}}{\sqrt {f_{edges}}}}) \end{pmatrix}}\)

Sieht erstmal plausibel aus, ermöglicht sogar implizit, den Mittelpunkt anhand der Kanten und der Länge von \({a}\) für die jeweilige Dimension zu definieren. \({f_{edges}}\) wird schwierig zu definieren sein, im mathematischen Sinne. In der Programmierung eine Nebensächlichkeit.

Die Kantenfunktion

Wenn ich meiner Argumentation folge, dann greife ich aus \({n=2}\) auf ein Objekt in \({n=1}\) zu, dass drei Punkte aufweist. Was ist, wenn ich aus \({n=1}\) auf \({n=0}\) zugreife? \({n=0}\) ist ja noch gefüllt mit Punkten, die erst materialisiert werden müssen. Ich greife also schon bei \({n=1}\) auf ein Objekt mit drei Punkten in \({n=0}\) zurück, die sich noch nicht materialisieren können. Scheint mir windig, die Angelegenheit.

Aber unabhängig davon, wie mache ich mathematisch aus \({1}\) eine \({3}\), die danach nur noch verdoppelt wird?

Schauen wir uns erstmal die Erwartungswerte an:

\({f_{edges}=0:row_i>0,col_j=0}\)
\({f_{edges}=0:row_i>1,col_j=1}\)
\({f_{edges}=0:row_i>2,col_j=2}\)
\({f_{edges}=0:row_i>3,col_j=3}\)
\({f_{edges}=0:row_i>4,col_j=4}\)
\({f_{edges}=1:row_i=1,col_j \geq 1}\)
\({f_{edges}=3:row_i=2,col_j \geq 2}\)
\({f_{edges}=6:row_i=3,col_j \geq 3}\)
\({f_{edges}=10:row_i=4,col_j \geq 4}\)

Die \({0}\) Werte habe ich hinzugenommen, damit man die Matrix symmetrisch mit den Formeln, sowohl waagrecht, wie senkrecht füllen kann.

Wie nach dem Nachrechnen klar ist, verdoppeln sich die Kanten nicht einfach, sondern nur zufällig von der 2ten zur 3ten Dimension. Wie also werden Kanten bestimmt für Dimensionen die ich mir nicht bildlich vorstellen kann?

1 Punkt = 0 Kanten \({n=0}\)
2 Punkte = 1 Kante \({n=1}\)
3 Punkte = 3 Kanten \({n=2}\)
4 Punkte = 6 Kanten \({n=3}\)
5 Punkte = 10 Kanten \({n=4}\)

Eine mögliche Ableitung anhand der Dimension könnte wie folgt aussehen:

Ich fange also mit \({n=0}\) an und behaupte die Anzahl der Kanten in Dimension 0 ist \({0^2}\). Für \({n=1}\) behaupte ich die Anzahl der Kanten entspricht dem Quadrat der Dimension minus der Kanten die die vorherigen Dimension \({n-1}\) hat, also \({1^2-0^2}\).

Für Dimension 0 gibt es keine vorherige Version, deshalb gilt \({k_n=n^2:n=0}\), wenn \({k_n}\) die Anzahl der Kanten einer Dimension \({n}\) darstellt.

In allen anderen Fällen gilt \({k_n=n^2-k_{n-1}:n>0}\).

Die Anzahl der Punkte in einer Dimension entspricht jeweils \({P_n=n+1}\).

Der werde ich wohl ein Programm schreiben müssen um das auch für \({n>4}\) ansatzweise zu beweisen. Achtung mindestens 1480 px Bildschirmbreite erforderlich. Mit Speed kann man die Geschwindigkeit des Tests und der Anzeige der Zwischenergebnisse steuern, das Endresultat sind dann ungefähr so aus

Ergebnisse und Anpassungen

Tja, blöd, bis zur 10ten Dimension funktioniert die Kantenformel korrekt. Die Werte sehen auch für die 11te Dimension plausibel aus, aber statt 1 bekommt man 0.6... als Distanz berechnet. Trifft auch für Dimensionen 12 zu. Beim Rumspielen mit den ermittelten Kanten für \({n=11}\) stelle ich fest, dass es keine natürliche Zahl gibt, die für diese Dimension ein korrektes Ergebnis liefert.

Noch blöder, dieses Ergebnis ist nicht zu wiederholen. Bei Wiederholungen funktioniert auch \(n=11\) bestens. Wahrscheinlich ein Glitch des Intelprozessors. Falls es Abweichungen gibt, liegen sie unter \({e^{-15}}\) und Javascript ist ja nicht so exakt mathematisch. Es funktioniert auch für \({a<1}\) oder \({a=\sqrt{2}}\).

Allerdings ist ab Dimension \({n=12}\) trotzdem der Ofen aus, es lässt sich kein Korrekturfaktor finden, der etwas anderes als \({0.6...}\) auswirft.

Die Kantenfunktion \({f_{edges}()}\) werde ich nach einem entsprechenden Hinweis (danke Bernd) anpassen. \({\frac {(n+1)\times n}{2}}\) ist wesentlich eleganter und benötigt keine Rekursion. Allerdings muss diese Funktion, um universell anwendbar zu sein, noch um Regeln ergänzt werden.

Sie liefert \({0}\) wenn sie auf Spalte \({0}\) oder auf Zeilen, die eine höhere Dimension als die Dimension der Spalte darstellen, angewandt wird. Für die Ausführung auf den Elementen von \({\overrightarrow {P_{ent}}}\) gilt \({k_n=0 \impliedby col_i=0 \lor f_{dim}(row_i) > col_i}\). Dies ermöglicht in der Programmierung, dass man Zeilen und Spalten nicht vor Anwendung der Funktion aussortieren muss, was die aufwändigere Option wäre.

Aktuelles Resultat. Die geringfügigen Abweichungen bei bestimmten Dimensionen (z.B. 2,3,7) finde ich interessant. Entweder ist es ein Hinweis darauf, dass unsere Prozessoren nicht genau genug für diese Fälle sind oder das diese Dimensionen eine gewisse natürliche Unschärfe enthalten.

Aktueller Code

function fDim(aRow){
    return (aRow+1);
}

function fEdgesN(nDim){
    // old recursive
    //let k = -1;
    //if (nDim == 0){
    //  k = pow(nDim, 2);
    //} else {
    //  k = pow(nDim, 2) - fEdgesN((nDim-1));
    //}
    let k = ((nDim+1)*nDim)/2;
    return k;
}

function fEdges(aRow, aCol){
    let n = fDim(aRow);
    // check exit conditions
    if (aCol == 0) {
      return 0;
    }
    if (n > aCol){
      return 0;
    }
    // run recursive function
    let edges = fEdgesN(n);
    return edges;
}

function calcPos(){
    let result = -1;
    let n = fDim(cRow);
    let k = fEdges(cRow, cCol);
    let kx = -1;
    // get the value for the current position
    if (cCol == 0) {
      // only one term
      if (cRow < 3) {
        result = orgP[cRow] + ((lenA/n) * sqrt(k));
      } else {
        result = 0 + ((lenA/n) * sqrt(k));
      }
    } else {
        // easy, one term
      if (n >= cCol) {
        result = pEnt[cRow][0] + ((lenA/n) * sqrt(k));
      } else {
        // find the relevant k by column = relevant dimension, adjust k
        // and build the term
        kx = fEdges(cRow, n);
        result = pEnt[cRow][0] + ((lenA/(2*kx)) * sqrt(kx));
      }
    }
    return result;
}

Nachhilfe und Verzweiflung

Ich habe eine Menge interessantes Material von Bernd bekommen. Ich bin immer noch am sichten, aber eins wurde klar, als ich ein exemplarisches 14-Simplex betrachtete, die Koordinaten werden genau umgekehrt aufgebaut, wie bei meinem Modell. Der 14te Punkt hat nur noch eine Koordinate in \({n=14}\) ansonsten Nullstellen in den geringeren Dimensionen.

Und es hat einen profunden Grund in der Mathematik und speziell der Matrizenrechnung in der linearen Algebra. Die Matrix muss vollständig gefüllt sein, alle Spalten/Eckpunkte haben schon alle Dimensionen. Dies ist erforderlich damit nicht mehrere mathematische Gesetze verletzt werden, wenn man unsere Mathematik verwenden will.

Ich kann also nicht einfach einen Wert wie \({nil}\) als Platzhalter für noch nicht vorhandenen Dimensionen einsetzen, der nach \({0}\) auflöst, wenn eine neue Dimension verfügbar wird, denn es kann nur einen Wert geben, der \({a=a \times N}\) erfüllt. Üblicherweise ist das die \({0:N=0}\).

Das Problem besteht nur in der Anfangsphase des Universums, primär. Es besteht nur wenn sich die Dimensionen bilden, die Punkte die Dimensionen erzwingen. Doch wer weiss ob in unserem Universum auch noch Dimensionen hinzukommen können?

Natürlich kann man philosophisch argumentieren, dass mit jeder neuen Dimension die Ortsvektoren automatisch und natürlich um einen \({0}\)-Eintrag in der jeweiligen neuen Dimension erweitert werden. Aber unsere lineare Algebra kann nicht angewandt werden ohne mathematische Gesetze zu verletzen. Zumindest nicht, wenn wir die Punktentität in einer Matrix darstellen wollen.

Was entweder erfordert, dass ich die Mathematik für diesen Moment vollständig definieren und abgrenzen muss oder einen unmöglichen Trick anwenden muss. Und wenn Dimensionen dynamisch zu einem beliebigen Zeitpunkt gebildet werden können, dann wird es noch haariger.

Natürlich kann ich postulieren, dass die Anzahl \({i}\) der potentiellen Punkte in einer Punktentität \({\overrightarrow {P_{ent}}}\) in \({n=0}\) die Anzahl der Dimensionskoordinaten bestimmt. Trotzdem muss ich von einer Dimension zur nächsten klettern, selbst wenn die Algebra andere Möglichkeiten bieten würde.

Ausserdem muss ich zwei Zahlenräume differenzieren. Der geometrisch-physikalische Koordinatenraum ist \({\in \mathbb{N}}\) und nicht \({\in \mathbb{R}}\) da er sich auf die minimale Plancklänge \(l_P=1\) bezieht. Während das angestrebte Simplex des Koordinatenraums \({\in \mathbb{R}}\) ist und sich im Ergebnis nur zwischen \({\{0 \cdots \pm{1}\}}\) bewegen kann. Zudem ist dieser Raum eine Untergruppe des geometrisch-physikalischen Koordinatenraums der sich genau zwischen den jeweiligen ganzzahligen Koordinaten befindet.

Das bewirkt zudem das Vektoren zwischen ganzzahligen Koordinaten im geometrisch-physikalischen Raum zwangsläufig ungenau werden, da sie, auch wenn ihr Wert nicht ganzzahlig ist, an einer ganzzahligen Koordinate, einem Vielfachen von \({l_P}\) in Erscheinung treten müssen. Was zu allem Übel auch noch Rundungsfragen aufwirft. Welche Seite bei \({\frac {1}{2}}\)?

→ Variablen eines Universums