Ein geeignetes Modell

Allgemein

Da Nichts uns nichts erspart, müssen wir ganz von vorne beginnen, was etwas schwierig ist, wenn man dazu Mathematik verwenden will. Insbesondere bei der Matrizenrechnung. Denn die Vektoren in einer Matrix haben bereits alle Dimensionen. Doch das Modell muss erst eine Möglichkeit definieren, wie Dimensionen zustandekommen und sich entwickeln.

Ein Universum das dynamisch peu a peu seine Dimensionen erweitert ist mit unserer Mathematik nicht direkt verträglich. Man würde Definitionen für die Situation der Dimensionserweiterung benötigen. Daher liegt es nahe, dass die Anzahl der Dimensionen des Modells in irgendeiner Form statisch ist und die Dimensionen direkt bei der ersten Begegnung mit dem Nichts gebildet werden müssen.

Dazu kommt, dass das Modell, neben den Dimensionen auch eine geometrisch-physikalische Ausprägung haben sollte.

Doch wie?

Dimensionen erzeugen

Für Dimension Null benötigen wir einen Punkt. D.h. wir müssen einen Modell erstellen, dass mit einem Punkt beginnt. Und dieser Punkt muss dafür sorgen, im Einklang mit den Gesetzen des Nichts, dass es nicht bei einem Punkt, also einer Dimension, bleibt.

Da ein Punkt geometrisch auch als Kreis mit Radius Null beschrieben wird und nicht nur einen Ortsvektor oder eine Koordinate darstellt, eröffnen sich Möglichkeiten. Wenn wir ein Universum mit geometrisch-physikalischer Ausprägung erzeugen wollen.

Mein Ansatz beruht auf einer Punktentität \({P_{ens}}\), die potentielle Punkte enthält. Die Anzahl dieser potentiellen Punkte legt die Anzahl der räumlichen Dimensionen fest, die in dem erzeugten Universum gültig sind.

Das in der Punktentität integrierte Modell der potentiellen Punkte kann in einem Universum wie dem unseren nicht gültig sein, da unser Universum nicht zulässt, dass zwei Objekte den gleichen Raum einnehmen. Ebenso würde Euklid verletzt, der sagt, ein Punkt ist etwas, dass keine Teile hat.

Wir brauchen also eine Möglichkeit, wie die Punktentität sich beim Kontakt mit dem Nichts entfaltet um den Gesetzen eines Universums, das dem unseren ähnlich ist, zu genügen. Dies erfordert zudem, dass die Punktentität symmetrisch aufgebaut ist, wenn wir die Bilanzregel des Nichts erfüllen wollen.

Hier benötigen wir entsprechende Raumdefinitionen, die es uns ermöglichen, innerhalb der minimalsten Länge und Zeit zu diesem Zustand zu gelangen. Es braucht eine Black Box, die dem Nichts verwehrt bleibt bis die minimalste Zeiteinheit verstrichen ist und Bilanz gezogen wird.

Wenn man annimmt, dass die minimalste Längeneinheit ein dichtgewebtes Koordinatensystem festlegt, in dem jede Koordinate ein Vielfaches der minimalsten Länge ist, dann bietet es sich an, die Zwischenräume zu nutzen. Da unsere minimalste Einheit eine natürliche Zahl ist und somit das Koordinatensystem darauf beruht, bietet es sich an, den Zahlenraum der reellen Zahlen, der dazwischen liegt, zu benutzen und dies auf den Bereich zwischen \({0}\) und \({1}\) zu beschränken.

Wir hätten also ein Koordinatensystem, das dem Nichts zugänglich ist. Sowie ein Koordinatensystem, das dem Nichts nicht direkt zugänglich ist. Und die Symbiose beider Koordinatensysteme zur genauestmöglichen Ortsbestimmung.

Damit handeln wir uns früher oder später Probleme ein, die noch zu lösen sind. Zum Beispiel wie ein Vektor zu werten ist, der bei Bilanzziehung des Nichts genau auf der Mitte zwischen zwei Koordinatenpunkten liegt. Welchem Punkt ist er zuzuordnen? Doch alles zu seiner Zeit.

Bleiben wir bei den potentiellen Punkten, die noch recht eigenschaftslos sind. Die einzige Eigenschaft die bereits jetzt bekannt ist, ist der Umstand, dass alle potentiellen Punkte in der Punktentität den gleichen Abstand zueinander haben. Diese Eigenschaft darf nicht verändert werden, da sie die Punktentität beschädigen würde.

Doch wir können den Abstand ändern. Sofern alle Punkte weiterhin gleichweit voneinander entfernt sind, bleibt die Abstandseigenschaft der Punktentität gewahrt.

Man bekommt einen gleichseitigen n-Simplex mit allen Dimensionen die durch die Anzahl der potentiellen Punkte definiert werden.

Mittelwerte und Unbestimmheiten

Wenn wir einen n-Simplex innerhalb eines physikalisch punktförmigen Bereichs der Simulation erzeugen, ergibt sich ein nicht unbedeutendes Problem. Innerhalb des punktförmigen Bereichs haben von aussen, aber innerhalb der Simulation, gesehen, alle enthaltenen Objekte den gleichen Ortsvektor. Es verbietet sich also, die inneren Vorgänge als einzelne Objekte zu sehen, ausser zur Veranschaulichung. Vielmehr braucht es Mittelwerte, die sozusagen eine Zustandsbeschreibung der inneren Prozesse darstellen.

Zum Glück haben wir einige Mittelwerte, die sich heranziehen lassen. Ein interessanter Artikel mit dem nicht übersetzbaren Wortspiel But, what do you MEAN? war ein richtiger Augenöffner für mich. Auch ist die englische Bezeichnung Root Mean Square (RMS) aus meiner Sicht wesentlich präziser.

Und es gibt eine interessante Beziehung bezüglich den Mittelwerten, die RMS-AM-GM-HM Ungleichheit, die besagt \({RMS\geq AM\geq GM\geq HM}\). Sollten die Werte für \({x_i}\) unterschiedlich sein, also z.B. \({x_1\neq x_2}\), dann gilt \({RMS\gt AM\gt GM\gt HM}\), was es ermöglicht, bei gleichen Basiswerten, unterschiedliche Ergebnisse zu erhalten.

RMS Root Mean Square (Quadratischer Mittelwert)

Dieser Mittelwert hat grosse Bedeutung bei periodisch veränderlichen Grössen, wie Wechselstrom oder Sinuswellen.

\({{\sqrt{{\frac{1}{n}}\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i^2}}}={\sqrt{{\frac{(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)}{n}}}}}\)

AM Arithmetischer Mittelwert

Dieser Mittelwert ist sehr nützlich in der Wahrscheinlichkeitstheorie.

\({{{\frac{1}{n}}\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i}}={\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}}}\)

GM Geometrischer Mittelwert

Dieser Mittelwert ist hilfreich um z.B. Wachstumsraten zu ermitteln.

\({{\sqrt[n]{\displaystyle\prod_{i=1}^n{x_i}}}={\sqrt[n]{x_1\times{x_2}\times\cdots\times{x_n}}}}\)

HM Harmonischer Mittelwert

Ein Mittelwert der üblicherweise gut ist, um Verhältnisse auszudrücken.

\({{\frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^n{\frac{1}{x_i}}}}={\frac{n}{{\frac{1}{x_1}}+{\frac{1}{x_2}}+\cdots+{\frac{1}{x_n}}}}}\)

Weitere Anforderungen

Das allein reicht noch nicht, zumindest wenn die Simulation zu einem Universum führen soll, dass dem unseren ähnlich ist. Wir brauchen Bewegung, Rotation, einen Eigendrehimpuls. Ein starres unbewegliches aufgefaltetes Objekt bringt uns nicht wirklich weiter. Ausser, dass wir Dimensionen haben, in einem Universum das statisch ist und sich auf eine entfaltete Punktentität beschränkt.

Die Punktentität muss beim ersten Kontakt mit Nichts also nicht nur die Dimensionen definieren, sie muss auch eine Bewegung des resultierenden Objekts sicherstellen, bzw. der enthaltenen Teilobjekte. Mathematisch und physikalisch begründet, am Besten.

Und selbst das ist noch nicht genug. Wir benötigen auch noch einen Zündfunken. Eine Option, wie sich die Punktentität weiter ausbreiten und vervielfältigen kann. Wenn der Funke nicht zündet, keine Ausbreitung verursacht, so muss dieser Funke immer noch genug Energie für eine Wiederholung des Zündvorgangs liefern.

Und wie kommen die Mittelwerte ins Spiel? Mit RMS haben wir die Obergrenze der Mittelwerte. Ein punktförmiges Objekt in einem Universum ist und bleibt das kleinste mögliche Objekt. Objekte innerhalb dieser Punktentität kann man sich zwar zur Veranschaulichung als Teilobjekte vorstellen, sie können es aber nie sein. Sie sind de facto nur eine Eigenschaft eines Objekts, dass sich mit jedem Glockenschlag des Universums in einer Form manifestieren muss. Sie sind zeitlos, da ihre Interaktionen unterhalb der minimalsten Zeit und minimalsten Grösse erfolgen.

Eigentlich lassen sich diese Teilobjekte, diese Eigenschaften, nur als statistische Grösse darstellen. Die vorhandenen Mittelwerte wären eine Möglichkeit. Doch was eignet sich als Reihe, mit unterschiedlichen Werten? Der Abstand zwischen den Punkten, die einen n-Simplex definieren, ist immer gleich. Kein geeigneter Kandidat, alle Mittelwerte bleiben identisch.

Der jeweilige Mittelpunkt des n-Simplex wäre fast ein Kandidat. Die gleichmässige Entfernung dieses imaginären Punktes zu allen jeweilig aktiven Punkten des n-Simplex. Denn diese würde sich verändern sich mit jeder Dimension \({n}\), wenn die Achsen stabil bleiben würden. Eine Linie zwischen Punkten an dem Ort verbleibt, an dem sie in der vorherigen Dimension war. Dann wäre nur der harmonische Mittelwert für Dimension \({n=0}\) nicht definiert. Fast schon philosophisch, Harmonie ist nicht definiert für Dimension \({n=0}\).

Aber leider bleiben die Achsen nicht stabil. Die Konstruktion des n-Simplex über die Dimensionen führt dazu, dass sich der jeweilige n-Simplex um den Mittelpunkt, den Nullpunkt, herumbewegt. Jeder Punkt in der nächsthöheren Dimension einen anderen Ort einnimmt. Was einerseits gut ist, die schrittweise Konstruktion des n-Simplex erschafft Bewegung. Andererseits bleibt der Mittelpunkt der Nullpunkt, verändert sich nicht, bildet keine Reihe, die für eine Mittelwertfunktion sinnvoll ist.

Die Anzahl der imaginären Flächen oder deren Flächeninhalt wären andere mögliche Grössen, die in Betracht gezogen werden könnten. Volumen ebenfalls, aber sowohl Flächen wie Volumen sind erst ab einer gewissen Dimension zu haben.

Mittelpunkte könnten für allen Dimensionen gedacht werden. Kanten ebenso, selbst wenn die Anzahl der Kanten in Dimension \({n=0}\) gleich \({0}\) ist, wie ein Mittelpunkt gleich \({0}\) wäre, wenn die Achsen stabil bleiben würden.

Eventuell wäre der Mittelpunkt \({c}\) aus dem Konstruktionsraum, der sich in der Dimension \({n+1}\) befindet um den n-Simplex im Unterraum \({n}\) zu konstruieren eine Variante. Allerdings haben wir es hier mit Vektorräumen zu tun, konkrete Werte wie Abstand zum Nullpunkt müssen noch ermittelt werden.

Bewegung

Wenn man die Punkte verfolgt, dann sieht man wie sie wandern, zumindest wenn man es etwas animiert darstellt. Die Animation ist in der Projektion der 4ten Dimension auf die 3te Dimension etwas ungenau, der Mittelpunkt des Tetraeders liegt nicht genau auf dem Nullpunkt. Habe verschiedene Verfahren ausprobiert und bin dann bei \({\sqrt{2}+w}\) als einigermassen brauchbaren Teiler für die 3D Komponenten des Vektors gelandet. Zumindest sieht der Tetraeder fast so aus, wie er aussehen sollte. Es scheinen gleichseitige Dreiecke zu sein.

Mir war erstmal wichtig eine bessere Vorstellung von den Punkten, wie sie sich verteilen, wenn Dimension für Dimension gebildet wird, zu haben. Und bei diesem Vorgang gibt es jede Menge Bewegung. Es werden also Kräfte benötigt, die sowohl Anziehung wie auch Abstossung bereitstellen, Gravitation und Elektromagnetismus könnten hier gut geeignet sein. Allerdings haben wir noch nicht mal Masse und die Bewegung scheint mir keine wellenförmige zu sein. Andeutungsweise spiralförmig mit abrupten Wendungen verhält sich \({c}\), der Mittelpunkt im Konstruktionsraum (\({\mathbb{R}^{n+1}:e_1, e_2, e_3, \cdots}\)) für den Unterraum \({\mathbb{R}^n}\).

Es ist wichtig, festzuhalten, dass dies nur das Basiskonstruktionsprinzip eines Elementarteilchens sein könnte, nicht das Elementarteilchen selbst. Für das erste Elementarteilchen gilt allerdings, dass es alle Dimensionen erzeugen muss, die in dem angepeilten Universumstyp existieren müssen. Auf welche Grösse dieses Elementarteilchen skaliert, ist dabei wahrscheinlich eher nebensächlich. Die resultierenden Teilchen einer Annihilation eines Elementarteilchens, dass sein eigenes Antiteilchen ist, müssen nicht zwangsläufig über Ausprägungen in allen verfügbaren Dimensionen verfügen. Aber die Normgrösse für Vektoren ist bestimmt.

Mittelwertzuordnung

Selbst wenn man noch nicht weiss, in welcher Funktion die Mittelwerte wann verwendet werden, sofern man eine geeignete Grösse des n-Simplex in Betracht zieht, ergeben sich doch schon Konsequenzen. Wenn \({P_{center}^{simplex}}\) für den Mittelpunkt eines n-Simplex steht, dann sind folgende Regeln quasi erzwungen:

\({{P_{{center}_n}^{simplex}}=x_i:i=n}\)

Für RMS, AM und GM gilt \({{n\geq{0}}:{P_{{center}_n}^{simplex}}\geq{0}}\)

Für HM gilt \({{n\gt{0}}:{P_{{center}_n}^{simplex}}\gt{0}}\)

Und das nur für den positiven Zahlbereich. Der negative kann noch ganz andere Überraschungen bereithalten.

Zahlenreihen für Mittelwerte ermitteln

Das ist noch ein Punkt an dem ich zu Knabbern habe. Die Zahlenreihen für Ecken, Kanten und Flächen sind systematisch ansteigend mit der jeweiligen Dimension \({n}\). Also eher langweilig.

Der Konstruktionsmittelpunkt \({c}\) im Konstruktionsraum würde eine absteigende Zahlenreihe ergeben, die immer kleiner wäre, als die Einheitslänge der Kante \({a}\), die gewählt wurde.

Der Abstand des Konstruktionsmittelpunktes vom Nullpunkt vor der Projektion entspricht keiner geometrischen Grösse, wie z.B. \({r_u}\) für ein gleichseitiges Dreieck. Er beschreibt eher ein physikalisches Phänomen, die, aus meiner Sicht spiralförmige, Rotation des n-Simplex mit jeder neuen Dimension, die sich dem Nullpunkt annähert. Somit durchaus ein interessanter Kandidat für RMS.

Grafisch wird es eher problematisch, dies darzustellen. Bei Dimension \({n=3}\), Tetraeder, liegt der Hyperraum der Konstruktion schon in \({n=4}\) und ist nicht mehr aussagekräftig grafisch darstellbar mit unseren bisherigen Mitteln.

Der steinige Weg zu Anziehung und Abstossung

Ich versuche mir gerade ein Universum vorzustellen, dass sich jeweils in der Dimension \({\mathbb{R}^{n-1}}\) physikalisch ausprägt. Anhand einer Punktentität, die jeweils \({n}\) Punkte enthält. Der Konstruktionsraum eines Universums mit \({n=1}\) enthält bereits die Dimension \({n=2}\). Jedes Punktepaar ist miteinander verbunden. Sie können nicht den gleichen Raum einnehmen, ihr Abstand zueinander muss grösser \({0}\) sein. Ihr Abstand darf andererseits nie grösser als \({1}\) sein. Der Nullpunkt, die Mitte ihres Abstands, muss auf der \({x}\) Achse liegen. Sie präferieren den grösstmöglichen Abstand zueinander. Die gleichen Gesetze gelten auch für Punktpaare untereinander. Und, da der Konstruktionsraum in \({n=2}\) liegt, können die einzelnen Punkte sich auf der \({x}\) und der \({y}\) Achse bewegen. Jeder Punkt ist zudem gleichwertig in seinen Eigenschaften, wenn sie postuliert werden. Wenn zum Beispiel eine hypothetische Masse \({m=1}\) definiert wird, gilt sie für alle Punkte. Hypothetische Eigenschaften können zudem nur einen Wert haben, \({1}\), ich bin.

Mathematisch kommt da ja schon einiges zusammen. Wir brauchen zudem eine Kombination von Kräften, die den Effekt der Abstossung und Anziehung erzeugen und deren Ergebnis zwischen \({0}\) und \({1}\) liegen muss. Das Gesamtergebnis sollte im besten Fall \({0}\) oder \({1}\) sein.

Welche Formel könnte man dafür heranziehen? Irgendwie scheinen die griffigen Formeln bei schwacher und starker Wechselwirkung zu fehlen. Wir haben Beschreibungen, Messungen, Deutungen, Prognosen aber keine einfache Formel, wie es mir scheint. Als unbedarfter Laie.

Die schwache Wechselwirkung muss zwar auch noch ins Spiel kommen, aber sie scheint mir im Moment wenig geeignet für die Bewegungskräfte obwohl wir \({a\to{b+c+\cdots}}\) ähnlich zu \({a+b\to{c+d}}\) erscheint. Bei der starken Wechselwirkung haben wir dagegen eine sehr kleine Reichweite, ca. 2.5 Femtometer, und das Merkmal, dass die Kraft, anders als die Coulomb-Kraft, viel stärker mit der Entfernung abnimmt. Nicht proportional, eher exponentiell. \({2.5fm}\) sind allerdings immer noch ein Vielfaches einer Plancklänge.

Bei einem Bruch haben Werte unter 1 im Teiler den Effekt, dass das Ergebnis des Bruchs grösser wird, je kleiner der Teiler ist. D.h. ein Abstand \({a}\) als Teiler eines Bruchs hätte schon mal eine der gewünschten Wirkungen. Um nicht proportional zu sein, liegt das Quadrat nahe. Wir hätten als \({\frac{f}{a^2}}\), wobei \({f}\) noch nicht klar ist. Für die Quantenchromodynamik ist es noch zu früh, wenn wir Glück haben ergibt sich ein entsprechendes Muster. Wir sind noch auf abstrakter Punktebene. Siehe auch Am Anfang war der Punkt.

Aber wir haben eine Kraft, die Kraft die den Punkt an seine erste Position getrieben hat. Die Bewegungsenergie, die Arbeit verrichtet hat damit die Punkte \({p_1^{ent}}\) und \({p_2^{ent}}\) auseinanderdriften und den weitmöglichsten Abstand zueinander um den Nullpunkt suchen. Wenn das Etwas, das \({ens}\) nur einen Schuss mit dem Wert \({1}\) machen kann, dann ist immer noch die Frage, welcher elementaren Einheit die \({1}\) zuzuordnen ist. Potentielle Energie (\({V, E_{pot}}\)) enthält Masse, die im aktuellen Stadium noch nicht gegeben ist. Ladung wäre wahrscheinlich ein geeigneter Kandidat.

Das würde bedeuten, wir haben eine Gesamtladung von \({Q(ens)=1}\), die sich auf die jeweiligen Punktentitäten innerhalb des Planckraums \({l_P=1}\) gleichmässig verteilt, also \({Q\left(\overrightarrow{P_{j}^{ent}}\right)=\frac{Q(ens)}{j}}\). Da Ladung genauso negativ sein kann, fühlt sich das noch nicht richtig an. Wenn wir einen Planckraum allerdings mit zwei Ladungen initialisieren, \({Q(ens)=1, Q'(ens)=-1}\) dann erfüllen wir nebenbei noch die Nullregel, denn \({Q(ens)+Q'(ens)=0}\). Also würde gelten:

\({Q\left(\overrightarrow{P_{j_i}^{ent}}\right)=\frac{Q(ens)}{j},Q'\left(\overrightarrow{{P'}_{j_i}^{ent}}\right)=\frac{Q'(ens)}{j}}\)

Für die jeweiligen Punkte würde sich analog ergeben:

\({Q\left(\overrightarrow{p_{j_i}^{ent}}\right)=\frac{Q\left(\overrightarrow{P_{j_i}^{ent}}\right)}{i},Q'\left(\overrightarrow{{p'}_{j_i}^{ent}}\right)=\frac{Q'\left(\overrightarrow{{P'}_{j_i}^{ent}}\right)}{i}}\) bzw. vereinfacht \({Q\left(\overrightarrow{p_{j_i}^{ent}}\right)=\frac{Q(ens)}{j\cdot i},Q'\left(\overrightarrow{{p'}_{j_i}^{ent}}\right)=\frac{Q'(ens)}{j\cdot i}}\)

Aber das geht bereits zu weit, genaugenommen haben wir nicht viel. Die Dimensionen die Punkte und ihre Anzahl bestimmen, also \({n}\). Wir haben eine Distanz die im Beginn \({0}\) ist, heisst wir sollten nicht durch die Distanz teilen. Punkte ohne Eigenschaften, ausser gleichweit entfernt zu sein. Wir haben die minimalste Plancklänge und Zeit. Alles \({1}\), na toll, kann man wenig damit machen. Wir haben ein Template wie Punkte in Dimensionen verteilt werden müssen, damit der Abstand gleichbleibt. Eine Matrix, einen Körper \({K}\). Und wir haben die Anforderung, bist du zu nah, geh weg so weit es geht, in diesem Fall maximal \({\frac{l_P}{n+1}}\) wobei \({l_P = 1}\) ist.

Für die noch zu entwickelnden Funktionen Abstossung und Anziehung im Bereich unter \({l_P=1}\) und \({t_P=1}\) gibt es also nur wenige Variablen. Die Distanz \({a}\) (denn \({\frac{a}{\sqrt{2}}*K}\)) des Bereichs zwischen \({l_P=0}\) und \({l_P=1}\). Also \({a\leq{d}\leq{l_P}}\). Der Radius \({r}\), der um den gemeinsamen Nullpunkt aller \({n}\)-Punkte gezogen wird \({r=\frac{l_P}{2}}\). \({l_P}\) definiert den maximal möglichen Durchmesser.

Und wir haben Vektoren, die berechnet werden können, zu den idealen Punkten im geometrischen Körper.

Zusammenfassung verfügbaren Grössen und Variablen

Basisgrössen

Plancklänge \({l_P=1}\)
Planckzeit \({t_P=1}\)
Potentielle Ladung \({Q(ens)=1,Q'(ens)=-1}\)
Anzahl der Dimensionen \({n}\) im Unterraum \({n\geq{0}:n\in{\mathbb{N}}}\)
Anzahl der erzeugten Dimensionen \({n_{ens}=n+1}\) wobei für jede Punktentität \({P^{ent}_{j_i},P'^{ent}_{j_i}}\) gilt \({i=n_{ens}}\)
Verteilung potentielle Ladung \({Q\left(\overrightarrow{p_{j_i}^{ent}}\right)=\frac{Q(ens)}{j\cdot i},Q'\left(\overrightarrow{{p'}_{j_i}^{ent}}\right)=\frac{Q'(ens)}{j\cdot i}}\)
Maximaler Durchmesser des Objekts \({d=l_P=1}\)
Maximaler Radius des Objekts \({r=\frac{d}{2}=\frac{1}{2}}\)
Anfangsabstand aller Punkte aller Punktentitäten \({a=0}\)

Zielgrössen

Einheitlicher Abstand \({a}\) zwischen den Punkten einer Punktentität \({P^{ent}_j}\), wobei gilt \({a=\frac{d}{j}:r_{P^{ent}_j}=\frac{a}{2}:a\leq{d}\leq{l_P}}\)
Basisvektoren im Raum \({\mathbb{R}^{n+1}}\) mit \({n+1}\) Komponenten: \({e1=(1,0,0,\ldots,0), e2=(0,1,0,\ldots,), \ldots e_{n+1}=(0,0,0,\ldots,1)}\)
Definition der Eckpunkte im Raum \({\mathbb{R}^{n+1}}\) mit \({v_i=e_i-c:c=\frac{1}{n+1}\cdot\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1} e_{i} \right) =\frac{1}{n+1} \cdot \left( 1,1,...,1 \right)}\)
Eine Basis die es erlaubt mit dem Nullpunkt zu beginnen \({b_1,\ldots,b_n}\) mit \({b_k=\frac{1}{\sqrt{k\cdot{(k+1)}}}(\underbrace{-1,-1,\ldots,-1}_{\text{k mal}},k,0,\ldots,0)}\)
Die Matrixelemente aller Eckpunkte \({M_{k,i}=\begin{cases}\frac{a}{\sqrt{2}}\cdot \frac{-1}{\sqrt{k\cdot (k+1)}}&i\leq k\\ \frac{a}{\sqrt{2}} \cdot \frac{k} {\sqrt{k\cdot (k+1)}}&i=k+1\ \\ 0&i>k+1\end{cases}}\)
Eine Matrix für eine beliebige Dimension und einen beliebigen Abstand, die die Eckpunkte des Objekts darstellt, mit \({k}\) als Zeilen- und \({i}\) als Spaltenindex, Beispiel Tetraeder \({\frac{a}{\sqrt{2}}\cdot\left( \begin{matrix}\frac{-1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0&0\\ \frac{-1}{\sqrt{6}}&\frac{-1}{\sqrt{6}}&\frac{2}{\sqrt{6}}&0\\ \frac{-1}{\sqrt{12}}&\frac{-1}{\sqrt{12}}&\frac{-1}{\sqrt{12}}&\frac{3}{\sqrt{12}}\\ \end{matrix} \right)}\)

Bedingungen

Gesucht wird eine Funktion \({\overrightarrow{v_{p}}=f(p):p\in{p_{j_i},p'_{j_i}}}\) die sicherstellt, dass die Punkte \({p}\) ausgehend von dem Nullpunkt immer den gleichen Abstand zueinander halten und sich an die Positionen begeben, die für ein bestimmtes \({a}\) und \({n}\) zulässig sind. Da die Funktion unterhalb der Planckskala arbeitet ist sie unabhängig von Zeit (\({t=1}\)).

In der Regel sollte der resultierende Vektor folgende Bedingungen erfüllen \({\|\overrightarrow{v_{p}}\|>0\land \|\overrightarrow{v_{p}}\|\leq d}\), solange keine umgebenden Objekte Kräfte ausüben.

Die Funktion sollte zudem sicherstellen, dass immense Kräfte notwendig sind um eine Punktentität aus dem Planckraum zu zerren, also sobald \({a>1}\) ist. Und sie muss sicherstellen, dass der Abstand der einzelnen Punkte über \({0}\) bleibt. Bei \({a=0}\) muss die Kraft der Abstossung am grössten sein, bei \({a=\frac{1}{n+1}}\) sollten die Kräfte der Anziehung und Abstossung wahrscheinlich in einem ausgeglichenen Verhältnis sein. Spätestens ab \({a>\frac{1}{n+1}}\) sollte die Kraft der Anziehung exponentiell ansteigen.

Es kann vermutet werden das die Kräfte der Anziehung und Abstossung sich umgekehrt proportional in Bezug auf \({a}\) verhalten. Diese Kräfte sind exklusive Kräfte einer Punktentität und gelten nur für die Punkte dieser Punktentität. Die Interaktion von Punktentitäten miteinander erfordert wahrscheinlich einen anderen Ansatz.

Was man wissen kann

Es gibt keine Masse, aber wir haben initiale Ladungen, die zugewiesen werden können. Wir haben einen Abstand \({a=0}\) zu Beginn. Wir haben die Anzahl \({i}\) der Punkte einer Punktentität \({P^{ent}_{j_i}}\). Da die Punkte sich ausser in der Position, die sie einnehmen werden, nicht unterscheiden ist zumindest klar, der Term muss ins Verhältnis zu den Punkten gesetzt werden \({\frac{1}{i}\equiv \frac{1}{n+1}\equiv \frac{1}{n_{ens}}}\).

Wenn \({f_x}\) der noch zu findendende Term ist, dann ergibt sich auf jeden Fall
\({f(p)=f_x\cdot \frac{1}{n_{ens}}}\)

Das \({i}\) des jeweiligen Punktes \({p_{j_i},p'_{j_i}}\) kann hier nicht herangezogen werden, da es nicht zwangsläufig identisch zu \({n_{ens}=n+1}\) ist. Womit klar wird, dass wir entweder die ganze Punktentität als Parameter übergeben müssen oder \({n_{ens}}\). Da alle Punkte identische Eigenschaften haben, sollte \({n_{ens}}\) ausreichen, so das es heissen muss
\({f(p, n_{ens})=f_x(p)\cdot \frac{1}{n_{ens}}}\)

Da wir einen Initialwert für \({a=0}\) haben, der für alle Punkte der Entität gilt, werden wir auch noch \({a}\) benötigen, wie auch die potentielle Ladung \({Q=\{Q(ens),Q'(ens)\}}\). Womit wir gezwungen sind, den Faktor anzupassen, zwar wird \({Q}\) auch mittels \({n_{ens}}\) paritätisch aufgeteilt, aber der Wert von \({1}\) ist ein Initialwert und kann sich verändern. Somit müssen die Punkte ins Verhältnis zu potentieller Energie und Anzahl der Punkte gesetzt werden. Daraus ergibt sich
\({f(p, a, Q, n_{ens})=f_x(p, a, Q)\cdot \frac{|Q|}{n_{ens}}}\). Um nur das Verhältnis, nicht aber das Vorzeichen von Ladung zu verwenden, muss der Absolutwert verwendet werden.

Eine Möglichkeit wäre es die Dimensionen des Unterraums ins Verhältnis zum übergeordneten Raum zu setzen, also etwas wie
Unterraum zu Planckraum \({k_u=\frac{l_P}{(a+Q)^{n-1}}=\frac{1}{(a+Q)^{n-1}}}\)
Konstruktionsraum zu Planckraum \({k_k=\frac{l_P}{(a+Q)^n}=\frac{1}{(a+Q)^n}}\)
Unterraum zu Konstruktionsraum \({k_u\cdot k_k=\frac{1}{(a+Q)^{n-1}}\cdot \frac{1}{(a+Q)^n}}\)
Neuer Abstand \({a'= k_u\cdot k_k \cdot \frac{|Q|}{n_{ens}}}\)
Zielvektor \({v_{p_{ji}}=\frac{a}{\sqrt{2}}\cdot K_i}\)
Neuer Vektor \({v_p=a'\cdot v_{p_{ji}}}\)

Die Graphen der Funktion sehen schon mal vielversprechend aus bei variablem \({a}\) und \({e}\). \({n=12}\) wurde rot eingefärbt, \({n=2}\) blau.

Allerdings ist die Funktion asymmetrisch bei negativen \({q}\) Werten, selbst wenn man \({q=0}\) behandelt. Je mehr Dimensionen verwendet werden, desto mehr verschiebt sich der symmetrische Nullpunkt in den Minusbereich wenn bei gleicher Länge \({a}\) unterschiedliche Ladungsstärken probiert werden.

Zumindest hätten wir eine Funktion, die eine Kraft beschreibt, die vom Nullpunkt ausgeht und auf die der Nullpunkt abstossend wirkt. Die auch mit den wenigen verfügbaren Variablen ein Ergebnis liefert, dass durchaus zu unseren Erwartungen passt. Auch wenn sich der symmetrische Nullpunkt mit der Grösse von \({Q}\) ändert. Gibt bestimmt interessante Effekt später. Und wir haben eine Bedingung \({Q\neq{0}}\). Sonst crashed es, da wir dann durch \({0}\) teilen. Was scheinbar im Widerspruch dazu steht, dass auch eine neutrale Ladung möglich ist. Dies lässt sich jedoch mittels zwei Punktentitäten mit entgegengesetzer gleichgrosser Ladung darstellen.

Wir müssen sogar noch weitergehen, denn bei Werten von \({0<|Q|<1}\) wird die Abstossung im negativen Bereich extrem gross woraus folgt \({|Q|\geq{1}}\). Da bei Elementarladungen nur ein Vielfaches der Elementarladung zugelassen ist, können wir noch weitergehen und sagen \({Q\neq{0}:Q\in{\mathbb{Z}}:Q=\{Q(ens),Q'(ens)\}}\)

Der Term hat noch andere Überraschungen parat für bestimmte Wertkombinationen, was in interessant macht für eine Simulation, da er sich nur in bestimmten Zahlenbereichen vorhersehbar verhält. Allerdings impliziert das Symmetrieprobleme, wenn man die Gesamtsumme des Systems bildet.

Weiterhin muss mindestens gelten \({n_{ens}>0}\), da sonst der Unterraum in einer undefinierten Dimension \({-1}\) liegen würde. \({n_{ens}=1}\) macht zwar wenig Sinn, sollte aber mathematisch noch in den Griff zu bekommen sein, da alles auf einen Punkt im Raum abgebildet wird. Erwartungsgemäss sollte der resultierende Vektor \({\overrightarrow{v_p}}\) keinen Einfluss auf die Position der Punkte enthaltener Punktentitäten ausüben, da alle Punkte nur eine Koordinate \({x=0}\) haben und der Zielvektor \({v_0=(0)}\) bleibt, wegen \({e_0=(0)\rightarrow c=\frac{1}{n+1}\cdot{e_0}=\frac{1}{2}\cdot{(0)}=(0)\rightarrow v_0=e_0-c=(0)-(0)=(0)}\).
Ein Skalarprodukt mit dem neuen \({a}\) sollte daher auch immer 0 ergeben.

Um eine vollständig symmetrische Funktion zu erzeugen, müsste man den Term wie folgt umwandeln:

Unterraum zu Planckraum \({k_u=\frac{l_P}{(a+|Q|)^{n-1}}=\frac{1}{(a+|Q|)^{n-1}}}\)
Konstruktionsraum zu Planckraum \({k_k=\frac{l_P}{(a+|Q|)^n}=\frac{1}{(a+|Q|)^n}}\)
Unterraum zu Konstruktionsraum \({k_u\cdot k_k=\frac{1}{(a+|Q|)^{n-1}}\cdot \frac{1}{(a+|Q|)^n}}\)
Neuer Abstand \({a'= k_u\cdot k_k \cdot \frac{|Q|}{n_{ens}}\cdot \frac{Q}{|Q|}}\)

Die Signatur der Funktion sähe dann so aus (\({n=4}\) grün)

Der Peak tritt jetzt nicht mehr so stark in den Vordergrund wenn \({|q|\geq{1}}\)

Allerdings ist der Peak immer noch stark vorhanden wenn \({a<1 \land q<1}\)

Was durchaus interessant ist, denn je schwächer die Ladung in einem Bereich wird, desto wahrscheinlicher wird die Dekomposition der Objekte und einer starken Energiefreisetzung, bzw. Ausbreitung über die Planckgrenze hinaus. Ebenso steigt die Wahrscheinlichkeit für massive Reaktionen, je mehr Punktentitäten in einem Planckraum mit Kantenlänge \({l_P=1}\) sich ein begrenztes Mass an Ladung teilen müssen.

Es stellt sich natürlich die Frage, ob die Punktentitäten dabei zerstört oder nur fast deaktiviert werden, da bei grossen Entfernungen die Reaktion absolut minimal ist (Stichwort Verschränkung).

Jetzt braucht es noch eine Bindungskraft, die in Richtung Nullpunkt wirkt. Und eine Erklärung was mit dem restlichen \({Q}\) passiert, wenn \({|Q| > 1}\) ist aber kaum umgewandelt wird, da die Lage der Punkte um so geringförmiger verändert wird, je grösser \({|Q|}\) ist.

Letzendlich muss vielleicht die Bindungskraft definieren, ab wann sich eine Punktentität auflöst, aufhört zu existieren.

Vielleicht ist die restliche Ladung ja genau die Lösung. Je mehr an den Punkten gezogen wird, desto mehr Ladung bleibt übrig. Um was zu tun? Die Bindung zu erhalten, würde ich mal vermuten. Denn wir bekommen einen Proportionalitätsfaktor quasi geschenkt \({q'=|Q|-|a'|}\).

Der gute alte Gauss eignet sich hier wunderbar.
\({\mu=\frac{l_P}{n-1}=\frac{1}{n-1}}\)
\({\sigma =\sqrt{n}}\)
\({a^{current}=|a|+|a'|}\)
\({x=\frac{q'}{a^{current}}}\)
\({f(x)={\frac{l_P}{\sqrt{2 \cdot \pi \cdot \sigma^2}}}\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right)}^2}:x\in\mathbb{R}}\)

Für die Symmetrie brauchen wir noch das Vorzeichen der Ladung
\({f(x)={\frac{1}{\sqrt{2 \cdot \pi \cdot \sigma^2}}}\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right)}^2}\cdot \frac{Q}{|Q|}:x\in\mathbb{R}}\)

Wir hätten also mit aktuellem Abstand \({a}\), Ladung \({Q}\) und Dimension \({n}\) des Konstruktionsraums
\({n\equiv n_{ens}:a\geq 0:Q\neq 0}\)
\({a^{repulsion}=\frac{l_P}{(a+|Q|)^{n-1}}\cdot \frac{l_P}{(a+|Q|)^n}\cdot \frac{|Q|}{n}\cdot \frac{Q}{|Q|}}\)
\({\mu=\frac{1}{n-1}}\)
\({\sigma =\sqrt{n}}\)
\({a^{current}=|a|+|a^{repulsion}|}\)
\({q'=|Q|-|a^{repulsion}|}\)
\({x=\frac{q'}{a^{current}}}\)
\({a^{attraction}={\frac{l_P}{\sqrt{2 \cdot \pi \cdot \sigma^2}}}\cdot {e^{-\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right)}^2} \cdot \frac{Q}{|Q|}:x\in\mathbb{R}}}\)
\({a^{new}=a^{repulsion}-a^{attraction}}\)
\({Q^{new}=\left(|Q|-|a^{new}|\right)\cdot \frac{Q}{|Q|}}\)

Allerdings haben wir noch nicht wirklich den neuen Abstand \({a}\) ermittelt, sondern nur den Abstand vom Nullpunkt bis zu einem beliebigen Punkt also braucht es mindestens \({a^{edge}=a^{new}\cdot{2}}\). Damit die vorhandene Energie von \({\pm{1}}\) auch ausreicht, müssen die Kanten der jeweiligen Dimension ebenfalls einbezogen werden.
\({n^{edges}=\frac{n\cdot{\left(n-1\right)}}{2}}\)
\({a^{edge}=a^{new}\cdot{2}}\)
\({a^{edges}=\frac{a^{edge}}{n^{edges}}}\)
\({Q^{new}=\left(|Q|-\left(|a^{edges}|\cdot{n^{edges}}\right)\right)\cdot \frac{Q}{|Q|}}\)

D.h. die Dimension bestimmt wie klein Objekte unterhalb Planck werden und ebenfalls wieviel Energie übrig bleibt. Je grösser die Dimension, desto kleiner wird die Kantenlänge \({a}\) ebenso wie die benötigte Energie dafür die Punkte an ihren Bestimmungsort zu transportieren. Damit bleibt je mehr Energie übrig, je grösser die Anzahl der Dimensionen ist. Die Länge eines Vektors wird dabei mit der potentieller Energie gleichgesetzt.

Allerdings macht mir die Ladung und die Vorzeichenspielerei noch Sorgen. Eigentlich wird sie nur für die Koordinaten benötigt, die in dem "negativen" geometrischen Raum erstellt werden soll, wenn die Ladung negativ ist. Die Vektorlänge bleibt stets positiv.

An die Formeln rantasten

Wir befinden uns im aktuellen Stadium der Entfaltung einer Punktentität noch unterhalb Planckzeit und Plancklänge. Es gibt keine Zeit, es gibt ein relatives Längenmaß zu Planklänge \({l_P=1}\). Wir haben keine Masse, keine Gravitation. Nur einen Nullpunkt als Startposition.

Und eine gequantelte potentielle Energiemenge von \({Q=\pm{1}}\). Gequantelt bedeutet hier, dass Energie in einen Planckraum mit \({r=1}\) von aussen nur als Vielfaches von \({\pm{1}}\) zugeführt werden kann. Innerhalb eines solchen Planckraums ist Energie nicht mehr an Quantelung gebunden.

Wir haben Dimensionen für Unterraum \({n}\) und Konstruktionsraum \({n_{ens}=n+1}\). Eine Entfaltungsmatrix für einen n-Simplex mit variabler Kantenlänge. Das war es dann schon.

Wir suchen, ausgehend von Kantenlänge \({a=0}\) der Punktentität, die Kantenlänge \({a'}\), die sich durch die Zuführung der potentiellen Energie \({Q=\pm{1}}\) ergibt um den n-Simplex zu definieren. Es gilt \({Q\neq{0}}\). Die Basis-Kantenlänge kann nach der Initialisierung beliebige Werte annehmen.

Folgende Eigenschaften sollten erfüllt sein. Es gibt eine abstossende Kraft, die um so schwächer wird, je grösser die Kantenlänge der Punktentität ist. Es gibt eine anziehende Kraft, die umso stärker wird, je kleiner die Kantenlänge ist, die innerhalb des Planckraums mit \({r=1}\) ist, aber in der Regel kleiner ist als die abstossende Kraft. Wenn die Kantenlänge \({|a|>1}\) ist, sollte die anziehenden Kraft für einen Moment stärker als die abstossende Kraft werden, aber mit zunehmender Entfernung immer schwächer werden.

Dynamische Kantenlänge

Work in progress