Mach mal nen Punkt!
So trivial und so komplex. Wir haben die Vereinfachung Massenpunkt, wir haben einen geometrischen Punkt, respektive einen mathematischen Punkt. Alle unterscheiden sich dummerweise in den Einzelheiten. Die Geometrie legt fest, dass der Punkt keine Ausdehnung hat, also einen Radius von Null zu den Kegelschnitten hat. Beim Massepunkt haben wir zumindest eine minimal angenommene Ausdehnung.
Es ist schon den alten Griechen aufgefallen, dass es schwierig wird, wenn man aus Punkten ohne Ausdehnung eine Linie bilden will. Hilbert hat die Definition eines Punktes einfach ausradiert und sich nur auf die Axiome bezogen, wie eine Gerade ist die Verbindung von zwei Punkten. Vereinfacht sicherlich vieles, erklärt aber nicht den Punkt.
Es fehlen die Werkzeuge, einen Punkt in Dimension 0 zu beschreiben. Denn diese Dimension kennt weder Länge noch Breite, mit der dieser Punkt messbar würde. Und in unserer Welt reicht es sehr oft den Punkt als reine Koordinatenangabe zu verstehen.
Doch wenn ich einen Punkt, einen Kreis mit Radius 0 neben einen anderen Kreis mir Radius 0 lege erhalte ich als Strecke immer noch 0. Ich kann unendlich viele Punkte nebeneinander legen, es wird keine Gerade und keine Strecke daraus. In der projektiven Ebene der Geometrie sind Punkt und Gerade auch noch vollständig austauschbar. Aber sie sind nur Hilfskonstrukte, Koordinaten die einen dreidimensionalen Raum voraussetzen.
In Dimension 0 gibt es aber keine Koordinaten. Allenfalls gibt es 0 und 1. Dimension 0 leer oder gefüllt. Wenn ich Energie in den Punkt stecke, bekomme ich zwar einen Massenpunkt (da Energie ein Äquivalent zu Masse ist), kann ihn aber nirgendwohin bewegen, wir haben weder Richtung noch Dimensionen grösser 0.
Die erste Frage ist also: Rolle ich die nächsthöhere Dimension aus, habe also mehrere Punkte in Dimension 0, die erst in Dimension 1 ersichtlich werden? Oder rolle ich die Dimension 0 in eine Dimension 1 ein, füge quasi göttlich einen Dimensionsbezugsrahmen hinzu?
Die zweite Frage ist das Wie? Wie immer!
Der externe Eingriff, einen neuen Dimensionsbezugsrahmen von aussen hinzuzufügen gefällt mir nicht, zu viel "göttliche Macht" ist in dieser Variante. Mir ist es schon zu viel, wenn ich das Ausrollen in höhere Dimensionen mit einem "göttlichen Billardqueue" anstossen muss.
Das Ausrollen der Dimension 0 hat zumindest einen gewissen Charme. Im Prinzip lassen sich unendlich viele Punkte in Dimension 0 verstecken. Sie müssten diskrete Eigenschaften haben, die erst in der jeweiligen Dimension ein Rolle spielen. Sie haben auch zwangsläufige Eigenschaften, denn der Abstand der Punkte zueinander, in Dimension 0, ist gleich gross, auch wenn er 0 ist. Eine höhere Dimension müsste dies bei Ausrollen korrekt wiedergeben.
Bei zwei Punkten ausgerollt auf Dimension 1 landen wir bei einer Geraden mit einer willkürlichen Richtung bezogen auf höhere Dimensionen. Doch schon bei drei Punkten fangen die Probleme an. Ein gleichmässiger Abstand zueinander kann nicht mehr als Linie dargestellt werden. Nur in einem gleichseitigen Dreieck kann sichergestellt werden, dass die Abstände zwischen allen Punkten weiterhin gleich gross sind. Aber damit wird eine weitere Dimension zwangsläufig.
Die ausgerollten Punkte müssen auch zwangsläufig eine Grösse ungleich 0 haben. Wobei die kleinste Einheit in der jeweiligen Dimension sicher eine angemessene Grösse wäre.
Ab vier Punkten wird es interessant. Wir können nicht einfach ein Trapez, eine Raute aus zwei gleichseitigen Dreicken formen, denn die äussersten Punkte der Raute wären zu weit voneinander entfernt. Eine dreiseitige Pyramide aus gleichschenkligen Dreiecken, ein Tetraeder, wäre wahrscheinlich eine Option. Aber ist das die einzige mögliche Anordnung?
Tja, und bei fünf Punkten, die alle gleichweit voneinander entfernt sind, fängt mein geometrisches Verständis an, leicht zu versagen. Eine Sphäre funktioniert nicht. Ein Punkt in der Mitte hätte zwar gleichweite Abstände zu den Punkten am Ende der Achsen, aber die Punkte untereinander haben keinen gleichweiten Abstand. Gegenüberliegende Punkte haben den doppelten Abstand, als den, den sie haben sollten.
Ein Objekt, dass diese Regel erfüllt, alle fünf Punkte sind jeweils gleich weit voneinander entfernt, benötigt wahrscheinlich eine weitere Dimension, die wir aktuell weder darstellen noch uns vorstellen können. Mathematisch mag dies möglich sein, aber geometrisch in unsere Dimension? Ich habe da meine Zweifel. Das gleichseitige Dreieck konnte ich ja auch nur zu einem Tetraeder formen, indem ich eine weitere Dimension herangezogen habe. Ein Spiegelung entspricht nicht mehr der Definition, wenn sie auf der gleichen Dimension erfolgt.
Hhmm, soviele interessante Kneipengespräche zu diesem Thema gehabt, das muss ich erstmal verarbeiten ... aber aktueller Stand der Wissenschaft scheint zu sein, dass es kein Verfahren gibt um geometrisch fünf Punkte, die jeweils denselben Abstand zu allen anderen Punkten haben, darzustellen.